湖南省衡阳市2022届高三下学期数学三模试卷

试卷更新日期：2022-06-24 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 复数 $- i + 1$ 的虚部是（）

A、1 B、 $i$ C、 $- i$ D、-1

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2. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 4 < 0}$ ， $B = {0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、{0} B、 ${0 ， 1}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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3. 已知 $P (1 ， 3)$ 为角 $α$ 终边上一点，则 $\frac{2 c o s α c o s (α + \frac{π}{2})}{c o s^{2} α + c o s 2 α} =$ （）

A、 $- \frac{1}{7}$ B、 $- \frac{6}{7}$ C、 $\frac{6}{7}$ D、 $\frac{1}{7}$

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4. 图 $1$ 中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”（如图3），莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，若曲侧面三棱柱的高为4，底面任意两顶点之间的距离为 $10 \sqrt{2}$ ，则其体积为（）

A、 $200 (2 π - 3 \sqrt{3})$ B、 $400 (π - \sqrt{3})$ C、 $40 \sqrt{2} π$ D、 $400 (2 π - \sqrt{3})$

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5. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为 $L = L_{0} D^{\frac{G}{G_{0}}}$ ，其中 $L$ 表示每一轮优化时使用的学习率， $L_{0}$ 表示初始学习率， $D$ 表示衰减系数， $G$ 表示训练迭代轮数， $G_{0}$ 表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.1以下（不含0.1）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据： $l g 2 \approx 0.3010$ ）（）

A、128 B、130 C、132 D、134

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6. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1)$ 为偶函数，且当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = 4^{x} - c o s x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (\frac{4043}{2}) > f (2022) > f (\frac{4039}{2})$ B、 $f (2022) > f (\frac{4039}{2}) > f (\frac{4043}{2})$ C、 $f (\frac{4043}{2}) > f (\frac{4039}{2}) > f (2022)$ D、 $f (\frac{4039}{2}) > f (2022) > f (\frac{4043}{2})$

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7. 将《三国演义》、《西游记》、《水浒传》、《红楼梦》4本名著全部随机分给甲、乙、丙三名同学，每名同学至少分得1本， $A$ 表示事件：“《三国演义》分给同学甲”； $B$ 表示事件：“《西游记》分给同学甲”； $C$ 表示事件：“《西游记》分给同学乙”，则下列结论正确的是（）

A、事件 $A$ 与 $B$ 相互独立 B、事件 $A$ 与 $C$ 相互独立 C、 $P (C | A) = \frac{5}{12}$ D、 $P (B | A) = \frac{5}{12}$

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8. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{y^{2}}{2} - x^{2} = 1$ 的上、下焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 在 $x$ 轴上，线段 $P F_{1}$ 交 $C$ 于 $Q$ 点， $△ P Q F_{2}$ 的内切圆与直线 $Q F_{2}$ 相切于点 $M$ ，则线段 $M Q$ 的长为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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二、多选题

9. 下列命题中，正确的有（）

A、数据93，92，92，89，93，94，95，96，100，99的极差为11 B、已知一组样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ 的平均数为5，方差为0.1，则由这组数据得到的新样本数据 $2 x_{1} + 1$ ， $2 x_{2} + 1$ ， …， $2 x_{n} + 1$ 的平均数为11，方差为0.2 C、一元线性回归模型 $\hat{y} = 2 - 1.5 x$ ，变量 $x$ 增加一个单位时，则 $\hat{y}$ 平均减少1.5个单位 D、已知随机变量 $ξ ~ N (2 ， σ^{2})$ ，且 $P (ξ < 4) = 0.6$ ，则 $P (0 < ξ < 4) = 0.2$

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10. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，若将函数 $f (x)$ 的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{4}$ ，再向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则下列命题正确的有（）

A、函数 $g (x)$ 的解析式为 $g (x) = 2 s i n (2 x - \frac{π}{6})$ B、函数 $g (x)$ 的最小正周期为 $4 π$ C、函数 $g (x)$ 在区间 $[\frac{5 π}{12} ， \frac{11 π}{12}]$ 上单调递减 D、 $(\frac{5 π}{3} ， 0)$ 是函数 $f (x)$ 图象的一个对称中心

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11. 已知实数 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b = 1$ ．则下列不等式正确的是（）

A、 $2^{a} + 2^{b} \geq 2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2}$ C、 $(\frac{1}{a} + 2) (\frac{1}{b} + 2) \leq 16$ D、 $\frac{2 a}{a^{2} + b} + \frac{b}{b^{2} + a} \leq \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}$

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12. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $G$ 为 $C_{1} D_{1}$ 的中点，点 $P$ 在线段 $B_{1} C$ 上运动，点 $Q$ 在棱 $C_{1} C$ 上运动， $M$ 为空间中任意一点，则下列结论正确的有（）

A、直线 $B D_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ B、异面直线 $A P$ 与 $A_{1} D$ 所成角的取值范围是 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ C、 $| P Q | + | Q G |$ 的最小值为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、当 $| M A | + | M B | = 4$ 时，三棱锥 $A - M B C$ 体积最大时其外接球的表面积为 $\frac{28 π}{3}$

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三、填空题

13. 圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y - 15 = 0$ 的圆心到直线 $x - 2 y = 0$ 的距离为.

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14. 已知四边形 $A B C D$ 为菱形， $∠ A = 6 0^{∘}$ ， $A B = 2$ ，且 $\vec{C M} = \vec{M D}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A M} =$ ．

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15. 已知各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{n} a_{n + 1} = 2 S_{n} (n \in N^{*})$ ，则 $a_{2} + a_{4} + a_{6} + \cdot \cdot \cdot + a_{66} =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{- x} + a x + \frac{a}{2} ， x < 0 \\ e^{x} (x - 1) ， x > 0 \end{array}$ （ $e \approx 2.71828$ ），若函数 $f (x)$ 的极值为0，则实数 $a =$ ；若函数 $F (x) = f (x) + f (- x)$ 有且仅有四个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{3} ， A C = 8$ ，点D在AB边上，且 $B D = 2 ， c o s ∠ B D C = \frac{1}{7}$ ．

(1)、求 $c o s ∠ A C D$ ；

(2)、求BC的长．

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{10} = 145$ ， $a_{3} = 7$ ，公比为2的等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 2 a_{1}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ，及使得 $\frac{1}{2} T_{n} > m - 2022$ 对 $n \in N^{*}$ 恒成立的最大正整数 $m$ ．

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19. 在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $P A = \sqrt{6}$ ， $E$ 、 $F$ 分别是 $A B$ 、 $A D$ 的中点，过直线 $E F$ 的平面 $E F N M$ 分别与侧棱 $P D$ 、 $P B$ 交于点 $N$ 、 $M$ ．

(1)、求证： $M N ∥ B D$ ；

(2)、若 $E F = 2 M N$ ，求直线 $P A$ 与平面 $E F N M$ 所成角的正弦值．

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20. 因新冠肺炎疫情线上学习期间，儿童及青少年电子产品的使用增多、户外活动减少，进而增加了近视发生和进展的风险.2022年春季由于奥密克戎及其变异株传染能力强、感染后缺乏特异性症状等特点，让奥密克戎防控难上加难．某市也受到了奥密克戎病毒的影响，全市中小学生又一次居家线上学习，该市某部门为了了解全市中学生的视力情况，采用分层抽样方法随机抽取了该市120名中学生，已知该市中学生男女人数比例为 $7 ： 5$ ，统计了他们的视力情况，结果如表：

近视
不近视
合计
男生
30
女生
40
合计
120

(1)、请把表格补充完整，并判断是否有 $99 %$ 的把握认为近视与性别有关？
附： $x^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$k_{0}$
2.706
3.841
6.635
$p (x^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.05
0.01

(2)、如果用这120名中学生男生和女生近视的频率分别代替该市中学生男生和女生近视的概率，且每名同学是否近视相互独立．现从该市中学生中任选4人，设随机变量 $X$ 表示4人中近视的人数，试求 $X$ 的分布列及其数学期望 $E (X)$ ．

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21. 已知抛物线 $C$ ： $y = a x^{2} (a > 0)$ 的焦点是 $F$ ，若过焦点 $F$ 的直线与 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，所得弦长 $| A B |$ 的最小值为2．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、设 $P$ ， $Q$ 是抛物线 $C$ 上不同于坐标原点 $O$ 的两个不同的动点，且以线段 $P Q$ 为直径的圆经过点 $O$ ，作 $O M ⊥ P Q$ ， $M$ 为垂足，试探究是否存在定点 $N$ ，使得 $| M N |$ 为定值，若存在，则求出该定点 $N$ 的坐标及定值 $| M N |$ ，若不存在，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - \frac{1}{2} a x^{2} - a x - 1$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，求实数 $a$ ；

(2)、从下面两个问题中选一个作答，若两个都作答，则按照作答的第一个给分．
①当 $x > 0$ 时， $f (x) + \frac{1}{2} a x^{2} - 2 x - l n x \geq 0$ ，求实数 $a$ ．
②当 $x > 0$ 时， $f (x) + \frac{1}{2} a x^{2} - a l n x \geq 0$ ，求实数 $a$ ．

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	近视	不近视	合计
男生	30
女生		40
合计			120

$k_{0}$	2.706	3.841	6.635
$p (x^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.01