湖北省武汉市武昌区2022届高三下学期数学5月质量检测试卷

试卷更新日期：2022-06-24 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 集合 $A = {x | 1 < x < 3}$ ，集合 $B = {x | x > 4$ 或 $x < 2}$ ，则集合 $A ∩ (∁_{R} B) =$ （）

A、 $R$ B、 $[2 ， 3)$ C、 $(1 ， 4]$ D、 $\emptyset$

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2. 复数 $z = \frac{2 - i}{1 - i}$ 在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 抛物线 $y = 4 x^{2}$ 的准线方程为

A、 $y = - 1$ B、 $y = 1$ C、 $y = \frac{1}{16}$ D、 $y = - \frac{1}{16}$

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4. 已知正实数 $a$ ， $b$ 满足 $2 a + b = a b$ ，则 $\frac{a}{4} - \frac{2}{b}$ 的最小值为（）

A、0 B、2 C、4 D、6

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5. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，5，11，21，37，61，则该数列的第8项为（）

A、95 B、101 C、141 D、201

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6. 已知角 $α$ 的始边与 $x$ 轴非负半轴重合，终边上一点 $P (s i n 3 ， c o s 3)$ ，若 $0 \leq α \leq 2 π$ ，则 $α =$ （）

A、3 B、 $\frac{π}{2} - 3$ C、 $\frac{5 π}{2} - 3$ D、 $3 - \frac{π}{2}$

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7. 通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到如下列联表：
跳绳
性别
合计
男
女
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
合计
60
50
110
已知 $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
$P (K^{2} \geq k)$
0.05
0.01
0.001
$k$
3.841
6.635
10.828
则以下结论正确的是（）

A、根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，爱好跳绳与性别无关 B、根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C、根据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，有99%以上的把握认为“爱好跳绳与性别无关” D、根据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好跳绳与性别无关”

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8. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 在双曲线右支上运动（不与顶点重合），设 $P F_{1}$ 与双曲线的左支交于点 $Q$ ， $△ P Q F_{2}$ 的内切圆与 $Q F_{2}$ 相切于点 $M$ .若 $| Q M | = 4$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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二、多选题

9. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 、 $F$ 、 $G$ 分别为 $B C$ 、 $C C_{1}$ 、 $B B_{1}$ 的中点，则（）

A、直线 $A_{1} D$ 与直线 $E F$ 垂直 B、点 $C$ 与点 $G$ 到平面 $A E F$ 的距离相等 C、直线 $A_{1} G$ 与平面 $A E F$ 不平行 D、过A、E、F三点的平面截正方体的截面为等腰梯形

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10. 一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件 $M$ 为“第一次向下的数字为1或2”，事件 $N$ 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（）

A、事件 $M$ 发生的概率为 $\frac{1}{2}$ B、事件 $M$ 与事件 $N$ 互斥 C、事件 $M$ 与事件 $N$ 相互独立 D、事件 $M + N$ 发生的概率为 $\frac{1}{2}$

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11. 已知函数 $f (x) = a s i n x - c o s x (x \in R)$ 关于 $x = \frac{π}{6}$ 对称，则下列结论正确的是（）

A、 $a = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{12}]$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、把 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到的图象关于点 $(\frac{3 π}{4} ， 0)$ 对称

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12. 已知函数 $f (x) = 2 x - c o s x$ 的零点为 $x_{0}$ ，则（）

A、 $x_{0} < \frac{1}{2}$ B、 $x_{0} > \frac{1}{3}$ C、 $t a n x_{0} > \frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $x_{0} - \frac{1}{4} < s i n x_{0}$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{2^{x} - 1}}{| x | - 1}$ 的定义域为.

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14. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， 2022)$ ，向量 $\vec{m} = \vec{a} + 2 \vec{b}$ ， $\vec{n} = 2 \vec{a} - k \vec{b}$ ，若 $\vec{m} ∥ \vec{n}$ ，则实数 $k =$ .

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15. $(1 - a x) {(1 + x)}^{6}$ 的展开式中， $x^{3}$ 项的系数为-10，则实数 $a =$ .

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16. 已知异面直线 $a$ ， $b$ 的夹角为 $θ$ ，若过空间中一点 $P$ ，作与两异面直线夹角均为 $\frac{π}{3}$ 的直线可以作4条，则 $θ$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，且满足 $a_{n} = \frac{T_{n}}{3 T_{n} - 1} (n \in N^{*})$ .

(1)、求证：数列 ${T_{n} - \frac{1}{2}}$ 为等比数列；

(2)、求数列 ${T_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $M_{n}$ .

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18. 在 $△ A B C$ 中，设角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $(c - b) s i n C = (a - b) (s i n A + s i n B)$

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $D$ 为 $B C$ 上的点， $A D$ 平分角 $A$ ，且 $c = \frac{3}{2}$ ， $A D = \sqrt{3}$ ，求 $\frac{B D}{D C}$ .

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19. 接种新冠疫苗，可以有效降低感染新冠肺炎的几率，某地区有A、B、C三种新冠疫苗可供居民接种，假设在某个时间段该地区集中接种第一针疫苗，而且这三种疫苗的供应都很充足.为了节省时间和维持良好的接种秩序，接种点设置了号码机，号码机可以随机地产生A、B、C三种号码(产生每个号码的可能性都相等)，前去接种第一针疫苗的居民先从号码机上取一张号码，然后去接种与号码相对应的疫苗(例如：取到号码A，就接种A种疫苗，以此类推).若甲、乙、丙、丁四个人各自独立的去接种第一针新冠疫苗.

(1)、记甲、乙、丙、丁四个人中接种疫苗A的人数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的数学期望；

(2)、记甲、乙、丙、丁四个人中接种疫苗的种数为 $Y$ ，求随机变量 $Y$ 的分布列和数学期望.

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20. 如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A_{1} B_{1} = 1$ ，四边形 $A B C D$ 为平行四边形，点 $E$ 为棱 $B C$ 的中点.

(1)、求证： $D_{1} E ∥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、若四边形 $A B C D$ 为正方形， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ，二面角 $A_{1} - B C - A$ 为 $\frac{π}{4}$ ，求二面角 $A_{1} - D E - C$ 的余弦值.

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为 $2 \sqrt{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、点 $P$ 为直线 $x = 4$ 上的动点，过点 $P$ 的动直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于不同的 $A$ ， $B$ 两点，在线段 $A B$ 上取点 $Q$ ，满足 $| A P | \cdot | Q B | = | A Q | \cdot | P B |$ ，证明：点 $Q$ 的轨迹过定点.

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22. 已知函数 $f (x) = x - l n x$

(1)、求证：当 $x > 1$ 时， $l n x > \frac{2 (x - 1)}{x + 1}$ ；

(2)、当方程 $f (x) = m$ 有两个不等实数根 $x_{1} ， x_{2}$ 时，求证： $x_{1} + x_{2} > m + 1$

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跳绳	性别		合计
跳绳	男	女	合计
爱好	40	20	60
不爱好	20	30	50
合计	60	50	110

$P (K^{2} \geq k)$	0.05	0.01	0.001
$k$	3.841	6.635	10.828