湖北省鄂东南三校2022届高三下学期数学5月联考试卷

试卷更新日期：2022-06-24 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 若复数 $z$ 满足 $(2 + i) z = 3 + 2 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

查看试题解析
2. 已知集合 $N = {x \in R | l n x \leq 1}$ ，若 $(∁_{R} N) ∩ M = M$ ，则集合 $M$ 可能是（）

A、 ${1 ， 2 ， 3}$ B、 ${x \in R | x \geq e}$ C、 ${x | x^{2} = 9}$ D、 $R$

查看试题解析
3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x + l n 2} ， x \leq 2 \\ f (x - 4) ， x > 2 \end{array}$ ，则 $f (2022) =$ （）

A、 $\frac{2}{e}$ B、 $2 e$ C、 $\frac{2}{e^{2}}$ D、 $2 e^{2}$

查看试题解析
4. 已知抛物线 $C_{1}$ 的顶点在坐标原点，焦点 $F$ 在 $y$ 轴正半轴上．若点 $F$ 到双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ 的一条渐近线的距离为1，则 $C_{1}$ 的标准方程是（）

A、 $x^{2} = 4 y$ B、 $x^{2} = 8 y$ C、 $y^{2} = \frac{4 \sqrt{3}}{3} x$ D、 $y^{2} = \frac{8 \sqrt{3}}{3} x$

查看试题解析
5. 设曲线 $y = e^{a x}$ （ $e = 2.718 \cdot \cdot \cdot$ 为自然对数的底数）在点 $(0 ， 1)$ 处的切线及直线 $4 x + y - 2 = 0$ 和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，则 $a =$ （）

A、-1 B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、1

查看试题解析
6. 若圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 3 = 0$ 关于直线 $a x + 2 b y + 6 = 0$ 对称，则从点 $(a ， b)$ 向圆 $C$ 作切线，切线长最小值为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

查看试题解析
7. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛，寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望，设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形 $A B C D$ 的边长为4，中心为 $O$ ，四个半圆的圆心均在正方形 $A B C D$ 各边的中点（如图2）．若点 $P$ 在四个半圆的圆弧上运动，则 $\vec{A C} \cdot \vec{O P}$ 的取值范围是（）

A、 $[- 4 ， 4]$ B、 $[- 8 ， 8]$ C、 $[- 4 \sqrt{2} - 4 ， 4 \sqrt{2} + 4]$ D、 $[- 8 \sqrt{2} - 8 ， 8 \sqrt{2} - 8]$

查看试题解析
8. 已知函数 $f (x) = 2^{x} - \frac{1}{2} (x < 0)$ 与 $g (x) = l o g_{2} (x + 2 a)$ 的图象上存在关于 $y$ 轴对称的点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $(- \infty ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ C、 $(- \infty ， \sqrt{2})$ D、 $(- \sqrt{2} ， \frac{\sqrt{2}}{4})$

查看试题解析

二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (3 ， σ^{2})$ 且 $P (X \leq 5) = 0.85$ ，则 $P (1 < X \leq 3) = 0.35$ B、设离散型随机变量 $η$ 服从两点分布，若 $P (η = 1) = 2 P (η = 0)$ ，则 $P (η = 0) = \frac{1}{3}$ C、若3个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则恰有两个空盒的放法共有12种 D、已知 $P (A B) = 0.12$ ，若 $P (A | B) = 0.2$ ，则 $P (A) = 0.6$

查看试题解析
10. 已知函数 $f (x) = s i n^{2} x - 3 c o s^{2} x + 4 s i n x c o s x$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期是 $π$ B、 $f (x)$ 的最大值是 $2 \sqrt{2} - 1$ C、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上是增函数 D、直线 $x = \frac{π}{8}$ 是图像的一条对称轴

查看试题解析
11. 设首项为1的数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n + 1} = 2 S_{n} + n - 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、数列 ${S_{n} + n}$ 为等比数列 B、数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = 2^{n - 1} - 1$ C、数列 ${a_{n} + 1}$ 为等比数列 D、数列 ${2 S_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $2^{n + 2} - n^{2} - n - 4$

查看试题解析
12. 在 $△ A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ，且 $A C = 4$ ， $B C = 2$ ，若将 $△ A B C$ 沿 $A C$ 边上的中线 $B D$ 折起，使得平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ．点 $E$ 在由此得到的四面体 $A B C D$ 的棱 $A C$ 上运动，则下列结论正确的为（）

A、 $∠ A D C = \frac{π}{2}$ B、四面体 $A B C D$ 的体积为1 C、存在点 $E$ 使得 $△ B D E$ 的面积为1 D、四面体 $A B C D$ 的外接球表面积为 $\frac{52 π}{3}$

查看试题解析

三、填空题

13. 在 ${(\sqrt[3]{x} - \frac{3}{x})}^{n}$ 的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于．

查看试题解析
14. 已知一个圆锥的母线长为3，侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为．

查看试题解析
15. 过抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 的直线 $l$ ，交抛物线 $C$ 的准线于点 $A$ ，与抛物线 $C$ 的一个交点为 $B$ ，且 $\vec{A B} = k \vec{B F} (k \geq \sqrt{3})$ ，若 $l$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线垂直，则该双曲线离心率的取值范围是．

查看试题解析
16. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，三元二次方程所对应的曲面统称为二次曲面．比如方程 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ 表示球面，就是一种常见的二次曲面．二次曲面在工业、农业、建筑等众多领域应用广泛．已知点 $P (x ， y ， z)$ 是二次曲面 $4 x^{2} - x y + y^{2} - 2 z = 0$ 上的任意一点，且 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $z > 0$ ，则当 $\frac{z}{x y}$ 取得最小值时，不等式 $\frac{e^{x}}{x} + \frac{a y}{2} - \frac{a l n \frac{z}{3}}{2} \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是．

查看试题解析

四、解答题

17. 已知在各项均为正数的等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} + a_{3} + a_{4} = 21$ ，且 $a_{2} - 1$ ， $a_{3} + 1$ ， $a_{4} + a_{3}$ 构成等比数列 ${b_{n}}$ 的前三项．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

查看试题解析
18. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\frac{b}{a} = \frac{c o s B + 1}{\sqrt{3} s i n A}$ ．

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $a + c = 4$ ，求 $△ A B C$ 周长的最小值，并求出此时 $△ A B C$ 的面积．

查看试题解析
19. 如图，在多面体 $A B C D M N$ 中，四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $A B ∥ C D$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $B C ⊥ D C$ ， $B C = D C = A M = D M = \sqrt{2}$ ，四边形 $B D M N$ 为矩形．

(1)、求证：平面 $A D M ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、线段 $M N$ 上是否存在点 $H$ ，使得二面角 $H - A D - M$ 的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ？若不存在，请说明理由．若存在，确定点 $H$ 的位置并加以证明．

查看试题解析
20. 为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的指示精神，小明和小亮两名同学每天利用课余时间进行羽毛球比赛.规定每一局比赛中获胜方记2分，失败方记0分，没有平局，谁先获得10分就获胜，比赛结束.假设每局比赛小明获胜的概率都是 $\frac{2}{3}$ .

(1)、求比赛结束时恰好打了7局的概率；

(2)、若现在是小明6：2的比分领先，记 $X$ 表示结束比赛还需打的局数，求 $X$ 的分布列及期望.

查看试题解析
21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $(1 ， \frac{3}{2})$ ，离心率为 $e = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设椭圆 $C$ 的左、右两个顶点分别为 $A_{1} ， A_{2}$ ， $T$ 为直线 $l ： x = 4$ 上的动点，且 $T$ 不在 $x$ 轴上，直线 $T A_{1}$ 与 $C$ 的另一个交点为 $M$ ，直线 $T A_{2}$ 与 $C$ 的另一个交点为 $N$ ， $F$ 为椭圆 $C$ 的左焦点，求证： $△ F M N$ 的周长为定值．

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + l n x + m x$ ，（ $m \in R$ ）．

(1)、若 $f (x)$ 存在两个极值点，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 为 $f (x)$ 的两个极值点，证明： $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} - f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) > \frac{{(m + 2)}^{2}}{8}$ ．

查看试题解析