湖北省2022届高三下学期数学5月联考试卷

试卷更新日期：2022-06-24 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | l o g_{2} x \leq 1}$ ， $B = {x | \frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1}$ ，求 $(∁_{R} A) ∩ B =$ （）

A、 $[- 3 ， 0] ∪ (2 ， 3]$ B、 $[- 3 ， - 1]$ C、 $[- 3 ， - 1] ∪ [0 ， 2]$ D、 $(2 ， 3]$

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2. 已知 $\frac{1 + z}{1 - z} = 2 i$ ，得 $\bar{z} =$ （）

A、 $\frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$ B、 $\frac{4}{5} + \frac{3}{5} i$ C、 $\frac{4}{5} - \frac{3}{5} i$ D、 $\frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$

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3. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 满足 $2 a_{n}^{2} = a_{n + 1}^{2} + a_{n - 1}^{2} (n \in N^{*} ， n \geq 2)$ ， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，则 $a_{30} =$ （）

A、 $7 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{22}$ C、 $\sqrt{31}$ D、 $\sqrt{29}$

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4. 已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为8和6，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为 $\frac{π}{2}$ ，则母线长为（）

A、4 B、8 C、10 D、16

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5. 已知函数 $f (x) = \frac{1 - e^{2 x}}{e^{2 x} + 1}$ ，不等式 $f (x^{2}) > f (x + 2)$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 1) ∪ (2 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(- \infty ， - 2) ∪ (1 ， + \infty)$ D、 $(- 2 ， 1)$

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6. 下列说法正确的是（）

A、样本中心 $(\bar{x} ， \bar{y})$ 不一定在回归直线上 B、两个随机变量的线性相关性越强，相关系数就越接近于1 C、若所有样本点都在直线 $y = - 2 x + 1$ 上，则 $r = - 2$ D、以 $\hat{y} = c e^{k x}$ 拟合一组数据时，经 $z = l n y$ 代换后的线性回归方程为 $\hat{z} = 0.3 x + 4$ ，则 $\hat{y} = e^{0.3 x + 4}$

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7. 已知实数 $a ， b$ 满足 $a + b = a b (a > 1 ， b > 1)$ ，则 ${(a - 1)}^{2} + {(b - 1)}^{2}$ 的最小值为（）

A、2 B、1 C、4 D、5

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8. 已知 $O$ 为坐标原点，点 $A (c o s α ， s i n α)$ ， $B (c o s (α + \frac{π}{3}) ， s i n (α + \frac{π}{3}))$ ，以 $O A ， O B$ 为邻边作平行四边形 $A O B P$ ， $Q (- 2 ， 0)$ ，则 $∠ P Q O$ 的最大值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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二、多选题

9. 阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置.由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移 $s (c m)$ 和时间 $t (s)$ 的函数关系式为 $s = 2 s i n (ω t + φ)$ ，其中 $ω > 0$ ，若该阻尼器模型在摆动过程中位移为1的相邻时刻差为 $\frac{π}{3}$ ，则 $ω$ 的可能取值为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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10. 已知函数 $f (x) = 2 x - e^{- x}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 存在唯一的零点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} \in (0 ， \frac{1}{2})$ C、过原点可作曲线的两条切线 D、若 $f (x) = k x$ 有两个不等实根，则 $k > 0$

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11. 第24届冬季奥林匹克运动会圆满结束.根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ 和椭圆 $C_{2}$ ： $\frac{x^{2}}{a_{2}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 (a_{2} > b_{2} > 0)$ 的离心率相同，且 $a_{1} > a_{2}$ .则下列正确的是（）

A、 $a_{1}^{2} - a_{2}^{2} < b_{1}^{2} - b_{2}^{2}$ B、 $a_{1} - a_{2} > b_{1} - b_{2}$ C、如果两个椭圆 $C_{2}$ ， $C_{1}$ 分别是同一个矩形（此矩形的两组对边分别与两坐标轴平行）的内切椭圆（即矩形的四条边与椭圆 $C_{2}$ 均有且仅有一个交点）和外接椭圆，则 $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \sqrt{2}$ D、由外层椭圆 $C_{1}$ 的左顶点 $A$ 向内层椭圆 $C_{2}$ 分别作两条切线（与椭圆有且仅有一个交点的直线叫椭圆的切线）与 $C_{1}$ 交于两点 $M ， N$ ， $C_{1}$ 的右顶点为 $B$ ，若直线 $A M$ 与 $B N$ 的斜率之积为 $\frac{8}{9}$ ，则椭圆 $C_{1}$ 的离心率为 $\frac{1}{3}$ .

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12. 已知正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3$ ， $A_{1} B_{1} = 2$ ，高为2， $E ， F$ 分别为 $D_{1} C_{1}$ ， $A_{1} D_{1}$ 的中点， $G$ 是对角线 $B D$ 上的一个动点，则以下正确的是（）

A、平面 $E F D / /$ 平面 $A C B_{1}$ B、点 $E$ 到平面 $A C B_{1}$ 的距离是点 $B$ 到平面 $A C B_{1}$ 的距离的 $\frac{1}{2}$ C、若点 $G$ 为 $B D$ 的中点，则三棱锥 $G - E F D_{1}$ 外接球的表面积为 $6 π$ D、异面直线 $E G$ 与 $A C$ 所成角的正切值的最小值为 $2 \sqrt{2}$

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三、填空题

13. 在 ${(x^{2} + 1)}^{3} {(x^{3} + \frac{1}{x})}^{2}$ 展开式中， $x^{4}$ 的系数为.

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14. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (1 ， 1)$ ， $| \vec{a} + \vec{b} | = 1$ ，则 $| \vec{b} |$ 的取值范围为.

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15. 在平面直角坐标系中，已知圆 $M$ ： ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 12$ ，点 $N (2 ， 0)$ ， $Q$ 是圆 $M$ 上任意一点，线段 $N Q$ 的垂直平分线与直线 $M Q$ 相交于点 $P$ ，设点 $P$ 的轨迹为曲线 $E$ ，则曲线 $E$ 的方程为.

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16. 已知函数 $f (x) = | l n x - a | + a (a > 0)$ 在 $[1 ， e^{2}]$ 上的最小值为1，则 $a$ 的值为.

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四、解答题

17. 已知在数列 ${a_{n}}$ 中 $a_{1} = 1$ ， $a_{n} + a_{n + 1} = \frac{1}{3^{n}}$ .

(1)、令 $b_{n} = 3^{n - 1} a_{n} - \frac{1}{4}$ ，证明：数列 ${b_{n}}$ 是等比数列；

(2)、 $S_{n} = a_{1} + 3 a_{2} + 3^{2} a_{3} + ⋯ + 3^{n - 1} a_{n}$ ，证明： $4 S_{n} - 3^{n} a_{n} = n$ .

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $2 c o s^{2} C - c o s C = 2 c o s^{2} B - 2 s i n^{2} A + c o s (A - B)$ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $a + b = 4$ ，求 $c$ 的取值范围.

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19. 亚运会将在2022年9月10日至25日在浙江省杭州举办，为此，浙江省开展了青少年亚运会知识问答竞赛，参赛人员所得分数的分组区间为 $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ ，由此得到总体的频率统计表：
分数区间
$[60 ， 70)$
$[70 ， 80)$
$[80 ， 90)$
$[90 ， 100]$
频率
0.1
0.4
0.3
0.2

(1)、若从总体中利用分层抽样的方式随机抽取10名学生进行进一步调研.从这10名参赛学生中依次抽取3名进行调查分析，求在第一次抽出1名学生分数在区间 $[70 ， 80)$ 内的条件下，后两次抽出的2名学生分数在 $[80 ， 90)$ 的概率；

(2)、视样本的频率为概率，在该市所有参赛学生中任取3人，记取出的3人中分数在 $[90 ， 100]$ 的人数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列和数学期望.

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20. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = A D = B D = 2$ ， $B C = C D = \sqrt{3}$ .

(1)、证明： $A C ⊥ B D$ ；

(2)、若平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C D$ ，求二面角 $B - A D - C$ 的余弦值.

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21. 如图所示，已知抛物线E： $x^{2} = y$ 与圆M： $x^{2} + (y - 4)^{2} = r^{2}$ （ $r > 0$ ）相交于A、B、C、D四点.

(1)、求r的取值范围；

(2)、当四边形 $A B C D$ 的面积最大时，求对角线 $A C$ 、 $B D$ 的交点T的坐标.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - x + a c o s x$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围；

(2)、证明：当 $a \geq 1$ 时， $f (x) > x l n x + 1 - a x$ .

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分数区间	$[60 ， 70)$	$[70 ， 80)$	$[80 ， 90)$	$[90 ， 100]$
频率	0.1	0.4	0.3	0.2