河南省许平汝联盟2022届高三下学期理数核心模拟卷（六）

试卷更新日期：2022-06-24 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数 $z = \frac{i^{7}}{1 + i} - 3 i$ （i为虚数单位），则z的虚部为（）

A、 $- \frac{7}{2}$ B、 $- \frac{5}{2}$ C、 $- \frac{5}{2} i$ D、 $- \frac{7}{2} i$

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2. 设集合 $A = {x | y = l n (4 x - x^{2} - 3)}$ ， $B = {x | x + 2 ⩾ a}$ ，若 $A ∪ B = B$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(- \infty ， 3)$ C、 $(- \infty ， 3]$ D、 $(- \infty ， 1]$

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3. 已知向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 不共线，且向量 $λ \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}$ 与 $2 \vec{e_{1}} - 5 \vec{e_{2}}$ 平行，则实数 $λ =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $- \frac{6}{5}$ C、 $- \frac{10}{3}$ D、-4

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4. 已知函数 $f (x) = x^{2} l n (\sqrt{x^{2} + 1} + x) + 2$ ，若 $f (a) = 9$ ，则 $f (- a) =$ （）

A、-5 B、-9 C、-13 D、-15

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5. 已知直线 $x = \frac{π}{8}$ 是函数 $f (x) = 2 s i n (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 的图像的一条对称轴，为了得到函数 $y = f (x)$ 的图像，可把函数 $y = 2 c o s (2 x - \frac{π}{6})$ 的图像（）

A、向左平移 $\frac{π}{24}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{24}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度

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6. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、4 D、8

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7. 在数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2^{n + 1}$ ，则 $a_{n} =$ （）

A、 $n \cdot 2^{n}$ B、 $\frac{5}{2} - \frac{1}{2^{n}}$ C、 $2 \cdot 3^{n} - 2^{n + 1}$ D、 $4 \cdot 3^{n - 1} - 2^{n + 1}$

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8. 函数 $y = \frac{x s i n 2 x}{2 - c o s x}$ 的部分图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知A，B为圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 上的两动点， $| A B | = 2 \sqrt{3}$ ，点P是圆 $C ： (x + 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 1$ 上的一点，则 $| \vec{P A} + \vec{P B} |$ 的最小值是（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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10. 在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A ⊥ P B$ ， $A B = B C = A C = 4$ ，则该三棱锥外接球的表面积是（）

A、 $\frac{256 π}{9}$ B、 $\frac{64 π}{3}$ C、16π D、12π

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11. 定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (1 - x) = f (x + 1)$ ，当 $x ⩾ 1$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + 5 ， 1 ⩽ x < 2 ， \\ 2 - l o g_{2} x ， x ⩾ 2 ， \end{array}$ 若对任意的 $x \in [t ， t + 1]$ ，不等式 $f (x) ⩽ f (1 - t - x)$ 恒成立，则实数t的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1] ∪ [- \frac{1}{3} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 2] ∪ [\frac{1}{3} ， + \infty)$ C、 $[- 2 ， \frac{1}{3}]$ D、 $[- 1 ， - \frac{1}{3}]$

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12. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， P是双曲线上一点，且 $(\vec{O P} + \vec{O F_{2}}) \cdot \vec{F_{2} P} = 0$ （ $O$ 为坐标原点），若 $△ P F_{1} F_{2}$ 内切圆的半径为 $\frac{a}{2}$ ，则C的离心率是（）

A、 $\sqrt{3} + 1$ B、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6} + 1}{2}$ D、 $\sqrt{6} + 1$

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二、填空题

13. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{4} = 10$ ， $S_{8} = 92$ ，则 $a_{2021} =$ ．

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14. 已知 $(3 + \frac{a}{x}) {(2 x - \frac{1}{x})}^{7}$ 的展开式中各项系数的和为5，则该展开式中的常数项是．

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15. 已知点F是抛物线 $E ： y^{2} = 8 x$ 的焦点，A，B，C为E上三点，且 $\vec{F A} + \vec{F B} + \vec{F C} = \vec{0}$ ，则 $| F A | + | F B | + | F C | =$ ．

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16. 若对任意正实数x，y，不等式 $(3 x - y) (l n y - l n x + 2) ⩽ a x$ 恒成立，则实数a的取值范围是．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $a^{2} - b^{2} = c (a c o s B - \frac{b}{2})$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $c = 8$ ， $△ A B C$ 的面积为4 $\sqrt{3}$ ，求BC边上的高．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P B D ⊥$ 平面ABCD，四边形ABCD为等腰梯形， $A B$ ∥ $D C$ ， $A B = 2 C D = 4$ ， $B C = \sqrt{10}$ ， $P C = \sqrt{6}$ ， $P B = 2$ ．

(1)、求证： $P D ⊥ A C$ ；

(2)、求直线CA与平面PBC所成角的正弦值．

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19. 已知某射击运动员射中固定靶的概率为 $\frac{4}{5}$ ，射中移动靶的概率为 $\frac{3}{4}$ ，每次射中固定靶、移动靶分别得1分、2分，脱靶均得0分，每次射击的结果相互独立，该射击运动员进行3次打靶射击；向固定靶射击2次，向移动靶射击1次．

(1)、求“该射击运动员没有射中移动靶且恰好射中固定靶1次”的概率；

(2)、若该射击运动员的总得分为X，求X的分布列和数学期望．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，左顶点为 $A (- 2 \sqrt{2} ， 0)$ ，且过点 $(\sqrt{2} ， \sqrt{3})$ ．

(1)、求C的方程；

(2)、过原点O且与x轴不重合的直线交C于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，求证：M， $F_{1}$ ， N， $F_{2}$ 四点共圆．

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21. 已知函数 $f (x) = a (e^{x} + 1) - \frac{x}{e^{x}} - 2 (a \in R)$ ．

(1)、若 $g (x) = e^{x} \cdot f (x)$ ，讨论 $g (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点，求实数a的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t + \frac{1}{t} ， \\ y = t - \frac{1}{t} \end{array}$ （t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ s i n (θ + \frac{π}{4}) = 2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求 $C_{1}$ 的普通方程和 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、若 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x + a | + | 2 x - 1 | (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) ⩽ 7$ 的解集；

(2)、若存在 $x \in R$ ，使得 $f (x) ⩽ - 2 a$ 成立，求实数a的取值范围．

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