河南省开封市联考2022届高三下学期理数核心模拟卷（中）（一）

试卷更新日期：2022-06-24 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | (x + 3) (2 - x) > 0}$ ， $B = {x | y = l n (x + 5)}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 5 ， - 3)$ B、 $(- 3 ， 2)$ C、 $(- 5 ， 2)$ D、 $(- 5 ， - 3) ∪ (2 ， + \infty)$

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2. 已知 $\frac{z + i}{z - i} = 2 i$ （i为虚数单位），则 $\bar{z} =$ （）

A、 $\frac{4}{5} + \frac{3}{5} i$ B、 $\frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$ C、 $\frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$ D、 $\frac{4}{5} - \frac{3}{5} i$

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3. 已知两个单位向量 ${\vec{e}}_{1}$ 与 ${\vec{e}}_{2}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，若 $\vec{a} = {\vec{e}}_{1} + 2 {\vec{e}}_{2}$ ， $\vec{b} = {\vec{e}}_{1} + m {\vec{e}}_{2}$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $m =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{5}{4}$ D、 $\frac{5}{4}$

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4. ${(x - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{8}$ 的展开式中所有有理项的系数和为（）

A、85 B、29 C、-27 D、-84

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5. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b s i n x + c o s x (a ， b \in R)$ ，若 $f (\frac{π}{3}) = 1$ ，则 $f (- \frac{π}{3}) =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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6. 直线 $l ： y = k x + 1 - k$ 与函数 $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ 的图象有两个公共点的充要条件为（）

A、 $k > 0$ B、 $0 < k < 2$ C、 $0 < k \leq \frac{1}{2}$ D、 $- 2 < k < 0$

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7. 已知 $a = l o g_{3} 24$ ， $b = l o g_{4} 32$ ， $5^{c} = 23$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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8. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1}$ ，则异面直线 $A_{1} C$ 与 $B C_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{2}{5}$

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9. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右顶点为 $M$ ，以 $M$ 为圆心， $b$ 为半径作圆 $M$ ，圆 $M$ 与双曲线 $C$ 的一条渐近线交于 $P$ 、 $Q$ 两点.若 $\vec{P M} \cdot \vec{Q M} = 0$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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10. 如图为函数 $f (x) = c o s (ω x + φ) (ω > 0)$ 的部分图像，将 $f (x)$ 的图像上各点的横坐标变为原来的两倍，再向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ 的图像，则 $g (x) =$ （）

A、 $c o s (2 x + \frac{π}{6})$ B、 $c o s (x - \frac{π}{6})$ C、 $s i n x$ D、 $- s i n x$

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11. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， ${(a_{n} + 1)}^{2} = 4 S_{n}$ ，记 $b_{n} = S_{n} \cdot s i n \frac{n π}{2} + S_{n + 1} \cdot s i n \frac{(n + 1) π}{2}$ ，若数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，则 $T_{100} =$ （）

A、-400 B、-200 C、200 D、400

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12. 若关于x的不等式 $\frac{x + l n a}{e^{x}} - \frac{a l n x}{x} > 0$ 对 $\forall x \in (0 ， 1)$ 恒成立，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， \frac{1}{e}]$ B、 $[\frac{1}{e} ， + \infty)$ C、 $[\frac{1}{e} ， 1)$ D、 $(0 ， \frac{1}{e}]$

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二、填空题

13. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 为其前n项和，若 $a_{3} = 3$ ， $S_{3} = 9$ ，则 ${a_{n}}$ 的公比为．

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14. 过抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 的焦点F的直线与抛物线C交于A、B两点，则 $| A F | + 4 | B F |$ 的最小值为.

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15. 已知正四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为 $\frac{256}{3}$ ，高为8，则正四棱锥的一个侧面所在的平面截其外接球所得截面的面积为．

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16. 近年来，人口问题已成为一个社会问题，人口老龄化，新生儿数量减少等问题已对我国的经济建设产生影响．为应对人口问题的挑战，2016年1月1日起全面放开二胎，2021年1月1日起全面放开三胎．下表是2016年～2020年我国新生儿数量统计：
年份x
2016
2017
2018
2019
2020
数量y（万）
1786
1758
1532
1465
1200
研究发现这几年的新生儿数量与年份有较强的线性关系，若求出的回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + 297183$ ，则 $\hat{b} =$ ，说明我国这几年的新生儿数量平均约以每年万的速度递减（结果保留一位小数），这种趋势如果得不到遏制，我国人口形势将会非常悲观．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $(b + a) (s i n A - s i n B) = (c - b) s i n C$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、设 $a = 2$ ， $c o s \frac{B}{2} = \frac{\sqrt{21}}{7}$ ，求b．

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18. 大豆是我国重要的农作物，种植历史悠久．某种子实验基地培育出某大豆新品种，为检验其最佳播种日期，在A，B两块试验田上进行实验（两地块的土质等情况一致）.6月25日在A试验田播种该品种大豆，7月10日在B试验田播种该品种大豆．收获大豆时，从中各随机抽取20份（每份1千粒），并测量出每份的质量（单位：克），按照 $[100 ， 150)$ ， $[150 ， 200)$ ， $[200 ， 250]$ 进行分组，得到如下表格：

$[100 ， 150)$
$[150 ， 200)$
$[200 ， 250]$
A试验田/份
3
6
11
B试验田/份
6
10
4
把千粒质量不低于200克的大豆视为籽粒饱满，否则视为籽粒不饱满．
参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
$k_{0}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

(1)、判断是否有97.5%的把握认为大豆籽粒饱满与播种日期有关？

(2)、从A，B两块实验田中各抽取一份大豆，求抽取的大豆中至少有一份籽粒饱满的概率；

(3)、用样本估计总体，从A试验田随机抽取100份（每份千粒）大豆，记籽粒饱满的份数为X，求X的数学期望和方差．

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19. 如图， $O_{1}$ ， O分别是圆台上、下底的圆心，AB为圆O的直径，以OB为直径在底面内作圆E，C为圆O的直径AB所对弧的中点，连接BC交圆E于点D， $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ 为圆台的母线， $A B = 2 A_{1} B_{1} = 8$ ．

(1)、证明； $C_{1} D / /$ 平面 $O B B_{1} O_{1}$ ；

(2)、若二面角 $C_{1} - B C - O$ 为 $\frac{π}{3}$ ，求 $O_{1} D$ 与平面 $A C_{1} D$ 所成角的正弦值．

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20. 已知椭圆 $Ω ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ， $Ω$ 上的点P与 $Ω$ 外的点 $Q (4 ， 0)$ 距离的最小值为2．

(1)、求椭圆 $Ω$ 的方程；

(2)、若直线l与椭圆 $Ω$ 交于点A，B，当直线l被圆 $O ： x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 截得的弦长为2b时，求 $△ O A B$ 面积的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - 2 a x + a$ $(a \in R)$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 在 $[- 2 ， 2]$ 上的最值；

(2)、设 $g (x) = 2 e^{x} - a x^{2}$ ，若 $h (x) = f (x) - g (x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{\sqrt{6}}{c o s α} ， \\ y = \sqrt{3} t a n α . \end{array}$ （ $α$ 为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $ρ c o s θ - ρ s i n θ - 3 = 0$ ．

(1)、求曲线C的普通方程和l的直角坐标方程；

(2)、若l与x轴相交于M点，与曲线C相交于P，Q两点，求 $| M P | ⋅ | M Q |$ ．

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23. 已知正数a，b，c满足 $a^{3} b^{3} + b^{3} c^{3} + c^{3} a^{3} + a b c = 4$ ．

(1)、求证： $0 < a b c \leq 1$ ；

(2)、求证： ${(\frac{1}{a b} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a})}^{2} \geq 3 (a b + b c + c a)$ ．

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年份x	2016	2017	2018	2019	2020
数量y（万）	1786	1758	1532	1465	1200

	$[100 ， 150)$	$[150 ， 200)$	$[200 ， 250]$
A试验田/份	3	6	11
B试验田/份	6	10	4

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828