河南省顶级名校2021-2022学年高三下学期理数阶段性联考试卷

试卷更新日期：2022-06-24 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} + x \leq 0}$ ， $B = {x | y = l n (2 x + 1)}$ ，则 $A ∩ B$ =（）

A、 $(- \frac{1}{2} ， 0]$ B、 $[- \frac{1}{2} ， 0]$ C、 $(\frac{1}{2} ， 0]$ D、 $[- 1 ， - \frac{1}{2}]$

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2. 已知 $a ， b \in R$ ，复数 $a + b i = \frac{2 i}{1 + i}$ ，则 $a + b =$

A、-2 B、1 C、0 D、2

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3. 若点 $(\sin \frac{5 π}{6}, \cos \frac{5 π}{6})$ 在角 $α$ 的终边上，则 $\sin α$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. “搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2019年9月到2020年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是（）

A、这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化 B、这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱 C、从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值 D、从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差

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5. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A、 $4 + \frac{1}{2} π$ B、 $\frac{5 + \sqrt{10}}{2} + \frac{1}{2} π$ C、 $\frac{5 + \sqrt{10}}{2} + \frac{1 + \sqrt{2}}{4} π$ D、 $4 + \frac{1 + \sqrt{2}}{4} π$

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6. 已知直线 $l ： y = \sqrt{3} x + m$ 与圆 $C ： x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 6$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $∠ A C B = 120 °$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $3 + \sqrt{6}$ 或 $3 - \sqrt{6}$ B、 $3 + 2 \sqrt{6}$ 或 $3 - 2 \sqrt{6}$ C、9或 $- 3$ D、8或 $- 2$

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7. 执行下面的程序框图，如果输入 $a = 1$ ， $b = 1$ ，则输出的 $S =$ （）

A、7 B、20 C、22 D、54

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8. 受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭.高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（）

A、240种 B、120种 C、188种 D、156种

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 4 x + a ， x < 1 \\ l n x + 1 ， x \geq 1 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = 2$ 有两个解，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 2)$ B、 $(- \infty ， 2]$ C、 $(- \infty ， 5)$ D、 $(- \infty ， 5]$

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10. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点， $O$ 是坐标原点，过 $F_{2}$ 作 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ .若 $| P F_{1} | = \sqrt{13} | P F_{2} |$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x^{2}} + 2 k l n x - k x$ ，若 $x = 2$ 是函数 $f (x)$ 的唯一极值点，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 2]$ B、 $[2 ， + \infty)$ C、 $(- ∞ ， \frac{e}{2}]$ D、 $(- ∞ ， \frac{e^{2}}{4}]$

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12. 在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{2}$ ， $A B = A C = 2$ ，有下述四个结论：
①若 $G$ 为 $△ A B C$ 的重心，则 $\vec{A G} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ ②若 $P$ 为 $B C$ 边上的一个动点，则 $\vec{A P} \cdot (\vec{A B} + \vec{A C})$ 为定值2③若 $M$ ， $N$ 为 $B C$ 边上的两个动点，且 $M N = \sqrt{2}$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{A N}$ 的最小值为 $\frac{3}{2}$ ④已知 $P$ 为 $△ A B C$ 内一点，若 $B P = 1$ ，且 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $λ + \sqrt{3} μ$ 的最大值为2
其中所有正确结论的编号是（）

A、①③ B、①④ C、②③ D、②④

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二、填空题

13. 已知 $α \in (\frac{π}{2} ， π) ， 2 s i n 2 α = c o s 2 α - 1$ ，则 $t a n α =$ ．

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14. 若 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} y \geq - 1 ， \\ y \leq x - 1 ， \\ x + y \geq 2 ， \end{array}$ 则 $z = 2 x + y$ 的最小值是．

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15. 点 $P$ 在双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的右支上，其左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，直线 $P F_{1}$ 与以坐标原点 $O$ 为圆心、 $a$ 为半径的圆相切于点 $A$ ，线段 $P F_{1}$ 的垂直平分线恰好过点 $F_{2}$ ，则该双曲线的离心率为.

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16. 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子，古称“角黍”“裹蒸”“包米”“简粽”等，早在春秋时期就已出现，到了晋代成为了端午节庆食物．将宽为1的矩形纸片沿虚线折起来，可以得到粽子形状的六面体，则该六面体的体积为；若该六面体内有一球，当该球体积最大时，球的表面积是．

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三、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $b s i n A = 2 s i n B$ ， $c (c - b) = (2 + b) (2 - b)$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若角 $A$ 的平分线 $A M$ 与 $B C$ 交于点 $M$ ， $A M = \sqrt{3}$ ，求 $b$ 、 $c$ ．

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18. 如图1，在矩形ABCD中，AB= 4，AD=2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D₁﹣ABCE，其中平面D₁AE⊥平面ABCE.

(1)、设F为CD₁的中点，试在AB上找一点M，使得MF∥平面D₁AE；

(2)、求直线BD₁与平面CD₁E所成角的正弦值.

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19. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n}$ ， $\sqrt{a_{n + 1}}$ ， $a_{n} + 2$ 成等比数列， $T_{n} = (1 + a_{1}) (1 + a_{2}) \cdot \cdot \cdot (1 + a_{n})$ ．

(1)、证明：数列 ${l n (1 + a_{n})}$ 是等比数列；

(2)、求 $T_{n}$ 及数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(3)、若 $b_{n} = \frac{1}{2 a_{n}} + \frac{1}{2 a_{n} + 4}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$

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20. 已知点 $P (1 ， 2)$ 在抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ 上，过点 $Q (0 ， 1)$ 的直线 $l$ 与抛物线C有两个不同的交点A、B，且直线PA交 $y$ 轴于M，直线PB交 $y$ 轴于N.

(1)、求直线 $l$ 的斜率的取值范围；

(2)、设 $O$ 为原点， $\vec{Q M} = λ \vec{Q O}$ ， $\vec{Q N} = μ \vec{Q O}$ ，试判断 $\frac{1}{λ} + \frac{1}{μ}$ 是否为定值，若是，求 $\frac{1}{λ} + \frac{1}{μ}$ 值；若不是，求 $\frac{1}{λ} + \frac{1}{μ}$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x + a x \cos x - x$ ， $0 < x \leq \frac{π}{2}$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，设 $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ ，求证： $g (x) < 0$ ；

(2)、若 $f (x)$ 恰有两个零点，求 $a$ 的最小整数值.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t c o s α \\ y = - 1 + t s i n α \end{array}$ （ $t$ 为参数， $0 \leq α < π$ ），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \sqrt{2} c o s (θ - \frac{π}{4})$ .

(1)、求 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 相交于不同两点 $A$ 、 $B$ ，线段 $A B$ 中点为 $M$ ，点 $N (0 ， - 1)$ ，若 $| M N | = 2$ ，求 $C_{1}$ 参数方程中 $s i n α$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - m |$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求函数 $g (x) = f (x) + | 2 x + 5 |$ 的最小值；

(2)、若 $f (x) \leq 1$ 的解集为 $[1 ， 2]$ ，且 $a + 3 b = m (a > 0 ， b > 0)$ ，求 $a^{2} + 9 b^{2}$ 的最小值.

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