河南省安阳市2022届高三下学期理数高考模拟试卷

试卷更新日期：2022-06-24 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in Z | - 3 < x < 3} ， B = {y | y = 2 - e^{x}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ B、 $(- \infty ， 2)$ C、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$ D、 $(- 3 ， 2)$

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2. 若 $z = 1 + 2 i$ ，则 $| z^{2} + 3 z | =$ （）

A、16 B、6 C、12 D、10

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3. 若直线 $y = \frac{1}{2} x - 1$ 与双曲线 $C ： a x^{2} - y^{2} = 1$ 的一条渐近线垂直，则a的值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、4 C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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4. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} = 2^{n + 1} + 2 m (m \in R)$ ，则 $\frac{2 m}{a_{2} + a_{4}} =$ （）

A、 $- \frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{10}$ C、 $- \frac{1}{20}$ D、 $\frac{1}{20}$

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5. 2022年第24届冬季奥林匹克运动会，冰上项目共有五种：冰壶、冰球、速度滑冰、短道速滑、花样滑冰．小王是一个冰上项目爱好者，他想前往现场观看，由于赛程的原因，他只能从五项冰上项目中选择其中三项进行观看，则小王恰好选中花样滑冰的概率为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{7}{10}$

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6. “ $x > s i n x$ ”是“ $2 x + c o s x - 1 > 0$ ”的（）

A、充分必要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 某房产销售公司有800名销售人员，为了了解销售人员上一个季度的房屋销量，公司随机选取了部分销售人员对其房屋销量进行了统计，得到上一季度销售人员的房屋销量 $X ∼ N (20 ， 4)$ ，则全公司上一季度至少完成22套房屋销售的人员大概有（）
附：若随机变量X服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ．

A、254人 B、127人 C、18人 D、36人

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8. 已知函数 $f (x) = 2 c o s (ω x + φ) - 1 (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ ，在 $x = 0$ 处的切线斜率为 $- \sqrt{3} ω$ ，若 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上只有一个零点 $x_{0}$ ，则 $ω$ 的最大值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、 $\frac{13}{6}$

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9. 已知圆 $C ： (x - 2)^{2} + (y - 6)^{2} = 4$ ，点M为直线 $l ： x - y + 8 = 0$ 上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则当四边形 $C A M B$ 周长取最小值时，四边形 $C A M B$ 的外接圆方程为（）

A、 $(x - 7)^{2} + (y - 1)^{2} = 4$ B、 $(x - 1)^{2} + (y - 7)^{2} = 4$ C、 $(x - 7)^{2} + (y - 1)^{2} = 2$ D、 $(x - 1)^{2} + (y - 7)^{2} = 2$

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10. 如图，在圆锥 $S O$ 中， $A C$ 为圆锥的底面直径， $A C = 4 ， △ S A C$ 为等腰直角三角形，B为底面圆周上一点，且 $∠ A C B = 60 °$ ， M为 $S A$ 上一动点，设直线 $B M$ 与平面 $S A C$ 所成的角为 $θ$ ，则 $s i n θ$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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11. 已知 $A H$ 是 $R t △ A B C$ 斜边 $B C$ 上的高， $A H = 2 \sqrt{2}$ ，点M在线段 $A H$ 上，满足 $(\vec{M B} + \vec{M C}) \cdot \vec{A H} = 8 \sqrt{2}$ ，则 $\vec{M B} \cdot \vec{M C} =$ （）

A、-4 B、-2 C、2 D、4

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12. 已知函数 $f (x) = - 3 (l n x)^{2} + a x$ ，若 $x \in [1 ， e^{2}]$ 时， $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得最大值，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{6}{e^{2}}]$ B、 $(- \infty ， 0]$ C、 $(0 ， \frac{6}{e^{2}})$ D、 $(\frac{6}{e^{2}} ， \frac{6}{e})$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (- 2 \sqrt{2} ， 4) ， \vec{b} = (1 ， c o s \frac{θ}{2})$ ，其中 $θ \in (0 ， π)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $s i n θ =$ ．

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14. 已知 $(\frac{1}{x} - 2 a x)^{n} (a > 0)$ 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为1，则展开式中 $x^{2}$ 的系数为．

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15. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 $2 b^{2} - 3 c^{2} - a c = 0 ， s i n (A + B) = 2 s i n A$ ，则 $t a n C =$ ．

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16. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ ，不过原点O的直线 $l ： y = k (x + 4) + 4$ 与抛物线C交于M，N两点，设直线 $O M ， O N$ 的倾斜角分别为 $α ， β$ ，则 $α + β =$ ．

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三、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足 $\frac{s i n A}{s i n B + s i n C} + \frac{b s i n B}{b s i n A + c s i n B} = 1$ ．

(1)、求角C；

(2)、CD是 $∠ A C B$ 的角平分线，若 $C D = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求c的值．

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18. 某省会城市为了积极倡导市民优先乘坐公共交通工具绿色出行，切实改善城市空气质量，缓解城市交通压力，公共交通系统推出“2元换乘畅享公交”“定制公交”“限行日免费乘公交”“绿色出行日免费乘公交”等便民服务措施．为了更好地了解人们对出行工具的选择，交管部门随机抽取了1000人，做出如下统计表：
出行方式
步行
骑行
自驾
公共交通
比例
5%
25%
30%
40%
同时交管部门对某线路公交车统计整理了某一天1200名乘客的年龄数据，得到的频率分布直方图如下图所示：

(1)、求m的值和这1200名乘客年龄的中位数；

(2)、用样本估计总体，将频率视为概率，从该市所有市民中抽取4人，记X为抽到选择公共交通出行方式的人数，求X的分布列和数学期望 $E (X)$ ．

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19. 已知空间几何体 $A B C D E$ 中， $△ A C D$ 与 $△ A B C$ 均为等边三角形，平面 $A C D ⊥$ 平面 $A B C ， B C = B E = 4$ ， $B E$ 和平面 $A B C$ 所成的角为 $60 °$ ．

(1)、求证： $A C ⊥ B D$ ；

(2)、若点E在平面 $A B C$ 上的射影落在 $∠ A B C$ 的平分线上，求直线 $B C$ 与平面 $A B E$ 所成角的正弦值．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一个动点N到椭圆焦点 $F (0 ， c)$ 的距离的最小值是 $2 - \sqrt{3}$ ，且长轴的两个端点 $A_{1} ， A_{2}$ 与短轴的一个端点B构成的 $△ A_{1} A_{2} B$ 的面积为2．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、如图，过点 $M (0 ， - 4)$ 且斜率为k的直线l与椭圆C交于P，Q两点．证明：直线 $A_{1} P$ 与直线 $A_{2} Q$ 的交点T在定直线上．

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21. 已知函数 $f (x) = 2 a e^{x} - l n (1 + x) + x^{2}$ ， $a \in R$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) \geq a e^{x} + x^{2} + c o s (a - 1)$ 对 $\forall x \in (- 1 ， + \infty)$ 恒成立，求a的取值范围．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = e^{t} + \frac{1}{e^{t}} ， \\ y = 2 (e^{t} - \frac{1}{e^{t}}) ， \end{array}$ t为参数，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ s i n (θ + \frac{π}{6}) - 2 = 0$ ．

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程及曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、设曲线 $C_{1}$ 的右顶点为A，射线 $θ = \frac{π}{3}$ 与曲线 $C_{1} ， C_{2}$ 分别交于M，N两点，求 $△ A M N$ 的面积．

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23. 已知a，b为正实数．

(1)、证明： $2 a^{3} + a^{2} \leq 2 a^{4} + 1$ ；

(2)、若 $a^{2} + b^{2} = 4 - 2 a b$ ，证明： $\frac{1}{a + 3 b} + \frac{2}{2 a + b} \geq \frac{9}{10}$ ．

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出行方式	步行	骑行	自驾	公共交通
比例	5%	25%	30%	40%