河南省开封市杞县2022届高中高三理数第一次摸底试卷

试卷更新日期：2022-06-24 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数z满足 $(1 + 2 i) z - 1 - i = 0$ ，则z的虚部为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $- \frac{1}{5} i$ C、 $- \frac{1}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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2. 已知集合 $E = {x | x = n + \frac{1}{2} ， n \in Z} ， F = {x | x = \frac{n}{2} + 1 ， n \in Z}$ ，则 $(∁_{R} F) ∩ E =$ （）

A、 $\emptyset$ B、E C、F D、Z

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3. 某市有11名选手参加了田径男子100米赛的选拔比赛，前5名可以参加省举办的田径赛，如果各个选手的选拔赛成绩均不相同，选手小强已经知道了自己的成绩，为了判断自己能否参加省举办的田径赛，他还需要知道这11名选手成绩的（）

A、平均数 B、中位数 C、众数 D、方差

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4. 已知命题p： $\exists x_{0} \in R$ ， $e^{x_{0}} < 0$ ；命题q： $\forall x \in (1 ， + \infty)$ ， $l o g_{2} x > 0$ ，则下列命题中为真命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $p \land (\neg q)$ C、 $\neg (p \lor q)$ D、 $(\neg p) \lor q$

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5. 2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后．神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功.2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功，中国航天又站在了一个新的起点．已知火箭的最大速度 $v$ （单位： $k m / s$ ）与燃料质量 $M$ （单位： $k g$ ）、火箭质量 $m$ （单位： $k g$ ）的函数关系为 $v = 2 l n (1 + \frac{M}{m})$ ，若火箭的质量为 $3000 k g$ ，最大速度为 $9 k m / s$ ，则加注的燃料的质量约为（）（参考数据： $l n 90 \approx 4.5$ ）

A、 $243 t$ B、 $244 t$ C、 $267 t$ D、 $273 t$

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6. 已知项数为 $n$ 的等差数列 ${a_{n}}$ 的前6项和为10，最后6项和为110，所有项和为360，则 $n =$ （）

A、48 B、36 C、30 D、26

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7. 在区间 $[0 ， 1]$ 上随机取两个数，则这两个数差的绝对值大于 $\frac{1}{2}$ 的概率为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{8}$

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8. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 分别为 $C$ 的上、下顶点，点 $P$ 为 $C$ 上异于 $A_{1}$ 和 $A_{2}$ 的一点，直线 $P A_{1}$ ， $P A_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，若 $k_{1} k_{2} = \frac{4}{5}$ ，则 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} x$ B、 $y = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{4} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} x$

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9. 已知 $0 < θ < \frac{π}{2}$ ，若 $s i n (2 θ - \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{10}$ ，则 $s i n θ + c o s θ =$ （）

A、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ 或 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ 或 $\frac{2 \sqrt{2}}{5}$

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10. 如图，四边形 $A B B_{1} A_{1}$ 为圆台 $O_{1} O$ 的轴截面（通过圆台上、下底面两个圆心的截面，其形状为等腰梯形）， $A B = 2 A A_{1} = 2 A_{1} B_{1}$ ， C、D分别为OB， $B B_{1}$ 的中点，点E为底面圆弧AB的中点，则CD与 $A_{1} E$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{3}{5}$

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11. 已知函数 $f (x) = (x^{2} - 2 x) s i n (x - 1) + x + 1$ ，则 $f (l o g_{2} 6) + f (l o g_{2} \frac{2}{3}) =$ （）

A、6 B、4 C、2 D、 $- 3$

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12. 正四面体 $A - B C D$ 的棱长为4，空间中的动点P满足 $| \vec{P B} + \vec{P C} | = 2 \sqrt{2}$ ，则 $\vec{A P} \cdot \vec{P D}$ 的取值范围为（）

A、 $[4 - 2 \sqrt{3} ， 4 + 2 \sqrt{3}]$ B、 $[\sqrt{2} ， 3 \sqrt{2}]$ C、 $[4 - 3 \sqrt{2} ， 4 - \sqrt{2}]$ D、 $[- 14 ， 2]$

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二、填空题

13. ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x})}^{6}$ 展开式中的常数项为（用数字作答）．

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14. 已知向量 ${\vec{e}}_{1}$ ， ${\vec{e}}_{2}$ 不共线， $a = {\vec{e}}_{1} + 3 {\vec{e}}_{2}$ ， $b = 2 {\vec{e}}_{1} + λ {\vec{e}}_{2}$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $λ =$ ．

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15. 如图，已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，A为C上位于第一象限内的一点， $A F_{1}$ 与y轴交于点B，若 $∠ A F_{2} B = 3 ∠ F_{1} A F_{2} = 90 °$ ，则C的离心率为．

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16. 实数x，y满足 $e^{x - 2} \leq (x - 3 y - 1) e^{3 y}$ ，则 $\frac{x}{3} - y$ 的值为．

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三、解答题

17. 在全民抗击新冠肺炎疫情期间，某市教育部门开展了“停课不停学”活动，为学生提供了多种网络课程资源．活动开展一个月后，某学校随机抽取了高二年级的学生若干进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间（单位：小时），将样本数据分成 $[3 ， 4)$ ， $[4 ， 5)$ ， $[5 ， 6)$ ， $[6 ， 7)$ ， $[7 ， 8]$ 五组（全部数据都在 $[3 ， 8]$ 内），并整理得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、已知该校高二年级共有800名学生，根据统计数据，估计该校高二年级每天学习时间不低于5小时的学生人数；

(2)、利用统计数据，估计该校高二年级学生每天平均学习时间；

(3)、若样本容量为40，从学习时间在 $[3 ， 5)$ 的学生中随机抽取3人，X为所抽取的3人中来自学习时间在 $[3 ， 4)$ 内的人数，求X的分布列和数学期望．

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18. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $b c o s C - a = c s i n B$ ．

(1)、求角B；

(2)、若 $b = \sqrt{5}$ ， ________．求 $△ A B C$ 的面积．
从① $s i n C = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， ② $s i n A = \frac{\sqrt{10}}{10}$ 这两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答该问题．

注：如果按照两个条件分别解答，则按第一个解答计分．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形ABCD为菱形，且 $∠ A B C = 60 °$ ， $P A ⊥$ 平面ABCD，E为BC的中点，F为棱PC上一点．

(1)、求证：平面 $A E F ⊥$ 平面PAD；

(2)、若G为PD的中点， $A B = A P = 2$ ，是否存在点F，使得直线EG与平面AEF所成角的正弦值为 $\frac{1}{5}$ ？若存在，求出 $\frac{P F}{P C}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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20. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (0 < p < 3)$ 的焦点为F，若点 $M (x_{0} ， 2 \sqrt{2})$ 在C上，且 $| M F | = 3$ ．

(1)、求C的方程：

(2)、P为y轴上一点，过点F的直线l交C于A，B两点，若 $△ P A B$ 是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，求线段AB的长．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} + \frac{a}{3} x^{3} + a c o s x - x$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、设 $a > 0$ ，若 $f (x)$ 在定义域R上是增函数，求实数 $a$ 的取值集合.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + c o s α ， \\ y = s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 s i n θ$ .直线 $l$ 的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{3} (ρ \in R)$ . $l$ 与 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 分别交于A，B两点（异于点 $O$ ）.

(1)、求 $C_{1}$ 的极坐标方程；

(2)、已知点 $M (2 ， 0)$ ，求 $△ M A B$ 的面积.

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23. 已知关于x的不等式 $| x - 1 | - | x + 2 | \geq | m + 2 |$ 有解.

(1)、求实数m的取值范围；

(2)、设 $M$ 是m的最大值，若 $a > 1$ ， $b > 1$ ， $c > 1$ ，且 $(a - 1) (b - 1) (c - 1) = M$ ，求证： $a b c \geq 8$ .

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