2022年普通高等学校理数统一模拟招生考试新未来4月联考试卷

试卷更新日期：2022-06-24 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 复数z满足 $i^{2022} z = \frac{5}{4 - 3 i}$ ，则复数 $z =$ （）

A、 $\frac{4}{5} + \frac{3}{5} i$ B、 $\frac{4}{5} - \frac{3}{5} i$ C、 $- \frac{4}{5} + \frac{3}{5} i$ D、 $- \frac{4}{5} - \frac{3}{5} i$

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2. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {y | y = 2^{x} ， x > 1}$ ， $B = {x | - 2 < x < 4}$ ，则图中阴影部分表示的集合为（）

A、 $[- 2 ， 2]$ B、 $(- 2 ， 2)$ C、 $(- 2 ， 2]$ D、 $[- 2 ， 2)$

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3. 新能源汽车的核心部件是动力电池，电池占了新能源整车成本的大头，而其中的原材料碳酸锂又是电池的主要成分.从2020年底开始，碳酸锂的价格一路水涨船高，下表是2021年我国江西某企业的前5个月碳酸锂价格与月份的统计数据：
月份代码x
1
2
3
4
5
碳酸锂价格y（万元/ $k g$ ）
0.5
0.6
1
1.4
1.5
由上表可知其线性回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + 0.16$ ，则 $\hat{b} =$ （）

A、0.28 B、0.29 C、0.30 D、0.31

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4. 已知 $\frac{s i n 2 α}{1 - c o s 2 α} = \frac{1}{3}$ ，则 $t a n α =$ （）

A、-3 B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、3

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5. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中，“ $a_{1} > a_{2}$ ”是“ $a_{3} > a_{6}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业发展，我市教育系统选派了6名教师支援新疆4个不同的地区，要求A，B两个地区各安排一人，剩下两个地区各安排两人，则不同的分派方法有（）

A、90种 B、180种 C、270种 D、360种

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7. 在高一入学时，统计高一（1）班所有同学中考数学成绩的方差为 $m (m > 0)$ ，后来又转学来一位同学，若该同学中考数学成绩恰好等于这个班级原来的平均分，且现在这个班级数学成绩的方差为 $\frac{51}{52} m$ ，则这个班级现在的学生人数为（）

A、51 B、52 C、53 D、54

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8. 已知函数 $f (x) = x^{2} e^{| x |} ， a = f (l o g_{2} 3) ， b = f (- l o g_{5} 8) ， c = f (- 2^{1.001})$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a > c > b$ B、 $a > b > c$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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9. 某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为1，那么该四棱锥的最长棱长为（）

A、3 B、 $\sqrt{10}$ C、 $\sqrt{14}$ D、 $\sqrt{17}$

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10. 若函数 $f (x)$ 过点 $(0 ， \sqrt{2})$ ，其导函数 $f^{'} (x) = A c o s (2 x + φ) (A > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $f (π) =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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11. 对任意 $x > 0$ ，不等式 $e^{x} - l n (a x) + (1 - a) x \geq 0$ 恒成立，则正数a的最大值为（）

A、 $\sqrt{e}$ B、 $\frac{1}{\sqrt{e}}$ C、 $\frac{1}{e}$ D、e

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12. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点和右焦点，过 $F_{2}$ 的直线l与双曲线的右支交于A，B两点， $△ A F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径为 $r_{1}$ ， $△ B F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径为 $r_{2}$ ，若 $r_{1} > r_{2}$ ，且直线l的倾斜角为 $60 °$ ，则 $\frac{r_{1}}{r_{2}}$ 的值为（）

A、2 B、3 C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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二、填空题

13. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ， $| \vec{a} | = \sqrt{3} ， \vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $| \vec{b} | =$ .

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14. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x - y - 1 \leq 0 ， \\ x + y - 2 \leq 0 ， \\ 3 x - y \geq 0 ， \end{array}$ ，则 $z = x + 3 y$ 的取值范围为.

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2 ， a_{n + 1} - 2 = a_{n} + 2 n (n \in N^{*})$ ，则数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前2022项的和为.

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16. 已知点F为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点，O为坐标原点，过椭圆的右顶点作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足 $c o s ∠ O P F = \frac{5 \sqrt{26}}{26}$ ，则椭圆C的离心率的取值范围为．

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三、解答题

17. 在△ $A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $b s i n \frac{B + C}{2} = a s i n B$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、若D为 $B C$ 边中点，且 $A D = 2$ ，求a的最小值.

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18. 灵活就业的岗位主要集中在近些年兴起的主播、自媒体、配音，还有电竞、电商这些新兴产业上．只要有网络、有电脑，随时随地都可以办公．这些岗位出现的背后都离不开互联网的加速发展和短视频时代的大背景．甲、乙两人同时竞聘某公司的主播岗位，采取三局两胜制进行比赛，假设甲每局比赛获胜的概率为 $\frac{2}{5}$ ，且每局比赛都分出了胜负．

(1)、求比赛结束时乙获胜的概率；

(2)、比赛结束时，记甲获胜的局数为随机变量X，求随机变量X的分布列．

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19. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，D，E分别为 $A C ， P B$ 的中点，且 $A D = D B ， E C ⊥$ 平面 $A B C$ ．

(1)、证明： $A B ⊥ P C$ ；

(2)、若 $A C = 2 B C = 2 \sqrt{3} E C$ ，求锐二面角 $B - A P - C$ 的大小．

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20. 已知函数 $f (x) = l n x + \frac{a}{x + 1} - \frac{a}{2}$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 零点的个数．

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21. 已知直线 $l ： x - k y + k - 1 = 0$ 与抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于A，B两点，过A，B两点且与抛物线C相切的两条直线相交于点D，当直线 $l ⊥ x$ 轴时， $| A B | = 4$ ．

(1)、求抛物线C的标准方程；

(2)、求 $| O D |$ 的最小值．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t ， \\ y = 2 t^{2} \end{array}$ （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $ρ c o s θ + ρ s i n θ - 2 = 0$ .

(1)、求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)、若直线l与曲线C交于P，Q两点，且点 $M (0 ， 2)$ ，求 $\frac{1}{| M P |} + \frac{1}{| M Q |}$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | + | x + 2 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \leq 5$ 的解集；

(2)、设 $x \in R$ 时， $f (x)$ 的最小值为M.若正实数a，b，满足 $a + b = M$ ，求 $\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 2}$ 的最小值.

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月份代码x	1	2	3	4	5
碳酸锂价格y（万元/ $k g$ ）	0.5	0.6	1	1.4	1.5