浙江省北斗星盟2021-2022学年高二下学期数学5月阶段性联考试卷

试卷更新日期：2022-06-23 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共8题，每小题5分，共40分）

1. 已知集合 $A = {x ∣ lg x > 0} ， B = {x ∥ x - 2 ∣ < 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x ∣ - 1 < x < 5}$ B、 ${x ∣ 1 < x < 5}$ C、 ${x ∣ x > - 1}$ D、 ${x ∣ x > 1}$

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2. 下列说法正确的是（）

A、命题 $\exists x \in R ， x^{2} + 2 x + 3 < 0$ 的否定是 $\forall x \in R ， x^{2} + 2 x + 3 > 0$ B、向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为钝角的充要条件是 $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ C、命题 $p ： \forall x \in R ， sin x + cos x \leq \sqrt{2}$ ，则 $\neg p$ 是真命题 D、设 $x ， y \in R$ ，则“ $x > 2$ 且 $y > 3$ ”是“ $x + y > 5$ 且 $x y > 6$ ”的充分不必要条件

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3. 设 $m ､ n$ 是两条不同的直线， $α ､ β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $m ⊥ n ， m \subset α ， n \subset β$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $m ∥ α ， n ∥ β ， α ∥ β$ ，则 $m ∥ n$ C、若 $α ⊥ β ， m ⊥ α ， n ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $m ∥ n ， m ⊥ α ， n ∥ β$ ，则 $α ∥ β$

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4. 已知函数 $f (x)$ 的图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能是（）（ $e \approx 2.71828$ 是自然对数的底数）

A、 $f (x) = \frac{e^{x} (2 x - 1)}{x - 1}$ B、 $f (x) = \frac{e^{x} (2 x - 1)}{x + 1}$ C、 $f (x) = \frac{e^{x} (2 x + 1)}{x + 1}$ D、 $f (x) = \frac{e^{x} (2 x + 1)}{x - 1}$

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5. 用 $0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4$ 这五个数字能组成无重复数字且1与3不相邻的五位数的个数有（）

A、36 B、48 C、60 D、72

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6. 某种品牌摄像头的使用寿命服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2，某单位同时安装了5个这种品牌的摄像头，则满4年时至少还有4个摄像头能正常工作的概率为（）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{3}{16}$ C、 $\frac{5}{32}$ D、 $\frac{11}{32}$

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7. 已知函数 $f (x) = x^{2} + e^{x} - \frac{1}{2} (x < 0)$ 与 $g (x) = x^{2} + ln (x + a)$ 图象上存在关于 $y$ 轴对称的点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{1}{\sqrt{e}})$ B、 $(- \infty ， \sqrt{e})$ C、 $(0 ， \frac{1}{\sqrt{e}})$ D、 $(0 ， \sqrt{e})$

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8. 已知点 $P$ 在Rt $△ A B C$ 所在平面内， $∠ B A C = 90^{\circ} ， ∠ C A P$ 为锐角，且 $| \vec{A P} | = 2 ， \vec{A P} \cdot \vec{A C} = 2$ ， $\vec{A P} \cdot \vec{A B} = 1$ ，当 $| \vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A P} |$ 取得是小值时， $tan ∠ C A P =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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二、多选题（本大题共4题，每小题5分，共20分）

9. 已知函数 $f (x) = a sin (x + \frac{π}{4}) ， a \neq 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x - \frac{π}{4})$ 是奇函数 B、 $f (x + \frac{π}{4})$ 是偶函数 C、 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = \frac{3 π}{2}$ 对称 D、 $f (\frac{π}{5}) > f (\frac{π}{6})$

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10. 将甲､乙､丙3名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄各派1名医生， $A$ 表示事件“医生甲派往①村庄”'； $B$ 表示事件“医生乙派往②村庄”； $C$ 表示事件“医生乙派往③村庄”，则（）

A、事件 $B$ 与 $C$ 是互斥事件 B、事件 $A 与 C$ 相互独立 C、 $P (C ∣ A) = \frac{1}{2}$ D、 $P (A \cup B) = \frac{2}{3}$

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11. 如图所示，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，过对角线 $B D_{1}$ 的一个平面交棱 $A A_{1}$ 于 $E$ ，交棱 $C C_{1}$ 于 $F$ ，则下列命题中是真命题的为（）

A、四边形 $B F D_{1} E$ 有可能是正方形 B、平面 $B F D_{1} E$ 有可能垂直于平面 $B B_{1} D$ C、设 $D_{1} F$ 与 $D C$ 的延长线交于 $M ， D_{1} E$ 与 $D A$ 的延长线交于 $N$ ，则 $M ､ N ､ B$ 三点共线 D、四棱锥 $B_{1} - B F D_{1} E$ 的体积为定值

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12. 已知函数 $f (x) = (x - a) e^{x} - b x$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $a = - 1 ， b = 2$ 时， $f (x) \geq 1$ 恒成立 B、当 $a = 1 ， b \in R$ 时， $f (x)$ 必有零点 C、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1} ､ x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} > 2 a - 4$ D、若 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，则 $a + b \leq 1$

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 复数 $z = \frac{5}{i - 2}$ （ $i$ 是虚数单位），则 $| z | =$ .

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14. 设 $(x^{2} + 1) {(2 x + 3)}^{9} = a_{0} + a_{1} (x + 2) + a_{2} {(x + 2)}^{2} + \dots + a_{11} {(x + 2)}^{11}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{11}$ 的值为.

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15. 若正实数 $m ， n$ 满足 $2 m + n + 6 = m n$ ，则 $m n$ 的是小值为.

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16. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (- x) = x^{2} ， \forall x_{1} ， x_{2} \in [0 ， + \infty)$ 均有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > \frac{x_{1} + x_{2}}{2} (x_{1} \neq x_{2})$ ，则不等式 $f (x) - f (1 - x) > x - \frac{1}{2}$ 的解集为.

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四、解答题（本大题共6小题，共70分.）

17. 已知函数 $f (x) = 2 {cos}^{2} x + 2 \sqrt{3} sin x cos x - 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 单调递增区间；

(2)、在 $△ A B C$ 中， $a ､ b ､ c$ 分别为内角 $A ､ B ､ C$ 的对边且满足 $f (A) = 1 ， \sqrt{2} a + b = 2 c$ ，求角 $B$ 的大小.

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18. 某汽车总公司计划在 $S$ 市的 $A$ 区开设某种品牌的汽车专卖分店.为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格.记 $x$ 表示在各区开设分店的个数， $y$ 表示这 $x$ 个分店的年收入之和.

$x$ （个）

2

3

4

5

6

$y$ （百万元）

2.5

3

4

4.5

6

参考公式：1. $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ，

$x^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} ， x_{0.1} = 2.706$

(1)、该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程；

(2)、如果总公司最终决定在A区选择两个合适的地段各开设一个分店，根据市场调查得到如下统计数据，第一分店每天的顾客平均为30人，其中5人会购买该种品牌的汽车，第二分店每天的顾客平均为80人，其中20人会购买这种汽车.依据小概率值 $α = 0.1$ 的 $x^{2}$ 独立性检验，试问两个店的顾客下单率有无差异？

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19. 近两年新冠疫情给人们的生活带来了极大的改变，各国的科学家对该病毒进行研究，取得了不错的进展.对新冠的研究，有病理上的研究和统计学上的研究.某统计学家对20000份核酸检测呈阳性的病人进行追踪统计，得至如下统计表：

	无症状人数	轻症状人数	重症状人数	病危人数	合计
人数	4000	8000	6000	2000	20000
治愈率	100%	95%	80%	60……

由于统计的样本足够多，所以上述频率可以看成其发牛的概率.

(1)、用随机变量

X = 0

表示事件“患者无症状”，

X = 1

表示事件“患者轻症状”，

X = 2

表示事件“患者重症状”，

X = 3

表示事件“患者病危”，求随机变量

X

的分布列，并求其期望和方差：

(2)、新冠疫甶的作用之一就是降低重症状和病危的概率，使得重症状人数的一半和病危人数的一半转化为轻症状患者.某人在核酸普查中很遗憾地发现呈阳性，但幸运的是他曾经打过新冠疫苗，求他能被治俞的概率.

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20. 已知平行四边形 $A B C D$ 中， $A D = 2 A B ， ∠ A = 60^{\circ} ， E ， F$ 分别是 $B C$ ， $A D$ 的中点，将菱形 $A B E F$ 沿 $E F$ 折至 $A^{'} B^{'} E F$ 的位置，使得二面角 $A^{'} - E F - A$ 的平面角为 $120^{\circ}$ ，连结 $B^{'} C ， A^{'} D$ ，得到斜三棱柱 $A^{'} D F - B^{'} C E$ .

(1)、求证： $E F ⊥ B^{'} D$ ；

(2)、求直线 $A^{'} D$ 与平面 $A^{'} B^{'} E F$ 所成角的正切值.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + b$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 在 $x \in [0 ， 1]$ 上的最小值 $M (a ， b)$ ；

(2)、记 $A = {x ∣ f (x) \leq - 3} ， B = {x ∣ f [f (x)] \leq - 3}$ ，若 $A = B \neq \emptyset$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = ln x + \frac{a}{2} x^{2} - x - \frac{1}{2}$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 有两个极值
（i）求实数 $a$ 的取值范围；

（ii）求 $f (x)$ 极大值的取值范围.

(2)、对于函数 $g (x) ， \forall x_{1} ､ x_{2} \in I$ ，都有 $\frac{g (x_{1}) + g (x_{2})}{2} \leq g (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ ，则称 $g (x)$ 在区间 $I$ 上是凸函数.利用上述定义证明，当 $a > 0$ 时， $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{1}{\sqrt{a}}]$ 上是凸函数.

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$x$ （个）	2	3	4	5	6
$y$ （百万元）	2.5	3	4	4.5	6