浙江省长兴、余杭、缙云三校2022届高三下学期数学5月联考试卷

试卷更新日期：2022-06-22 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设全集 $U = R$ ，集合 $P = {x | \frac{x}{x - 1} \leq 0}$ ， $Q = {x | x \leq 4}$ ，则 $P ∩ Q =$ （）

A、 $[0 ， 1)$ B、 $[0 ， 1]$ C、 $(- \infty ， 0] ∪ (1 ， 4]$ D、 $(- \infty ， 0] ∪ [1 ， 4]$

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2. 已知 $a \in R$ ，若复数 $z = (a + i) (1 - i)$ ，复数z的实部是4，则z的虚部是（）

A、 $- 2 i$ B、-2 C、 $2 i$ D、2

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3. 如图，某多面体的体积是 $\frac{1}{2}$ ，其三视图如图所示，则正视图中的高 $a =$ （）

A、1 B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + 2 y - 3 \geq 0 \\ 3 x - y - 2 \geq 0 \\ 4 x + y - 12 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = x + y$ 的最小值为（）

A、2 B、3 C、5 D、6

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5. 已知a，b为非零实数，下列四个条件中，使 $a > b$ 成立的充分而不必要的条件是（）

A、 $a > b - 1$ B、 $a^{2} > b^{2}$ C、 $2^{a} > 2^{b}$ D、 $l o g_{2} a > l o g_{2} b$

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6. 已知函数 $f (x) = \frac{l n (\sqrt{x^{2} + 1} - x)}{c o s x + a} ， a \in R$ 的图像如图所示，则实数a的值可能是（）

A、-2 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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7. 如图，已知四边形 $A B C D$ ， $△ B C D$ 是以 $B D$ 为斜边的等腰直角三角形， $△ A B D$ 为等边三角形， $B D = 2$ ，将 $△ A B D$ 沿对角线 $B D$ 翻折到 $△ P B D$ 在翻折的过程中，下列结论中不正确的是（）

A、 $B D ⊥ P C$ B、 $D P$ 与 $B C$ 可能垂直 C、直线 $D P$ 与平面 $B C D$ 所成角的最大值是 $45 °$ D、四面体 $P B C D$ 的体积的最大是 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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8. 已知 $a ＞ 0 ， b ＞ 0$ ，定义 $H (a ， b) = m a x {a + 2^{2 - b} ， \frac{9}{a} + 2^{b}}$ ，则 $H (a ， b)$ 的最小值是（）

A、5 B、6 C、8 D、1

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9. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1} (- c ， 0)$ 、 $F_{2} (c ， 0)$ ，点 $P$ 是双曲线 $C$ 右支上一点，满足 $∠ F_{1} P F_{2} = 6 0^{∘}$ ，若以点 $P$ 为圆心， $r$ 为半径的圆与圆 $F_{1} ： {(x + c)}^{2} + y^{2} = \frac{49}{4} a^{2}$ 内切，与圆 $F_{2} ： {(x - c)}^{2} + y^{2} = \frac{a^{2}}{4}$ 外切，其中 $0 < r < \frac{7 a}{2}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项都是正数， $a_{n + 1}^{2} - a_{n + 1} = a_{n} (n \in N^{*})$ ．记 $b_{n} = \frac{(- 1)^{n - 1}}{a_{n} - 1}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，给出下列四个命题：
①若数列 ${a_{n}}$ 各项单调递增，则首项 $a_{1} \in (0 ， 2)$ ②若数列 ${a_{n}}$ 各项单调递减，则首项 $a_{1} \in (2 ， + \infty)$ ③若数列 ${a_{n}}$ 各项单调递增，当 $a_{1} = \frac{3}{2}$ 时， $S_{2022} > 2$ ④若数列 ${a_{n}}$ 各项单调递增，当 $a_{1} = \frac{2}{3}$ 时， $S_{2022} < - 5$ ，
则以下说法正确的个数（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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二、填空题

11. 若一个三角形的三边长分别为a，b，c，设 $p = \frac{1}{2} (a + b + c)$ ，则该三角形的面积 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ，这就是著名的“秦九韶-海伦公式”若 $△ A B C$ 的三边长分别为5，6，7，则该三角形的面积为．

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12. 设 $P = {α | f (α) = 0} ， Q = {β | g (β) = 0}$ ，若存在 $α \in R ， β \in R$ ，使得 $| α - β | < n$ ，则称函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 互为“n度零点函数”．若 $f (x) = l o g_{2} x - 1$ 与 $g (x) = x - a \cdot 2^{x}$ 互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为．

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13. 已知平面向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 满足 $| \vec{b} | \cdot | \vec{c} | = 1$ ，若 $| 3 \vec{a} - (\vec{b} + \vec{c}) | = | \vec{a} \cdot \vec{b} | \cdot | \vec{c} |$ ，则 $- {\vec{a}}^{2} + 2 {\vec{b}}^{2} + {\vec{c}}^{2}$ 的最小值是．

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14. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 1 ， x \leq 0 \\ 3 ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f (f (- 1)) =$ ，不等式 $f (x) > 2$ 的解集是．

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15. 若 $(2 x - 1)^{5} + (x - 2)^{3} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，则 $a_{5} =$ ， $a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + a_{4} =$ ．

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16. 一个口袋里有形状一样仅颜色不同的5个小球，其中白色球3个，黑色球2个．若从中任取1个球，每次取球后都放回袋中，则事件“连续取球3次，恰好取到两次白球”的概率为；若从中任取2个球，记所取球中白球可能被取到的个数为 $ξ$ ，则随机变量 $ξ$ 的期望为．

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17. 在 $△ A B C$ 中， $B C = 2 \sqrt{3} ， A C = 3 ， ∠ B A C = 2 ∠ B$ ， D是线段 $B C$ 上一点，且 $A D ⊥ A C$ ，则 $c o s ∠ B =$ ， $A D$ 的长为．

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (x \in R ， A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、在锐角 $△ A B C$ 中，若边 $B C = 1$ ，且 $f (\frac{A}{2} - \frac{π}{12}) = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 周长的最大值．

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19. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为等腰梯形， $A B / / C D$ ， $A B = 2 C D = 4$ ， $A D = B C = \sqrt{2}$ ， $△ P A B$ 是斜边为 $A P$ 的等腰直角三角形．

(1)、若 $P C = 3 \sqrt{2}$ 时，求证：平面 $P B C ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $P C = \sqrt{22}$ 时，求直线 $P D$ 与平面 $A B C D$ 所成的角的正弦值．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 2} = q a_{n}$ （q为实数，且 $q \neq 1$ ）， $n \in N^{*}$ ， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，且 $a_{2} + a_{3}$ ， $a_{3} + a_{4}$ ， $a_{4} + a_{5}$ 成等差数列．

(1)、求q的值和 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{l o g_{2} a_{2 n}}{a_{2 n - 1}} ，$ $n \in N^{*}$ ，记数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若对任意的 $n \in N^{*}$ ，满足 $4 (λ n + b_{n}) - (n + 1) b_{n} > λ n S_{n}$ ，试求实数 $λ$ 的取值范围．

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21. 如图，已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ， $| F_{1} F_{2} | = 2 \sqrt{2}$ ，设 $P (x_{0} ， y_{0})$ 是第一象限内椭圆C上的一点， $P F_{1} 、 P F_{2}$ 的延长线分别交椭圆C于点 $Q_{1} (x_{1} ， y_{1}) 、 Q_{2} (x_{2} ， y_{2})$ ．当 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ 时， $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、分别记 $△ F_{1} F_{2} Q_{1}$ 和 $△ F_{1} F_{2} Q_{2}$ 的面积为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，求 $S_{2} - S_{1}$ 的最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{\frac{1}{2} x}$ （e为自然对数的底数）．

(1)、令 $g (x) = a | x | - | f (x) - \frac{1}{f (x)} |$ ，若不等式 $g (x) \leq 0$ 恒成立，求实数a的取值范围；

(2)、令 $φ (x) = x f^{3} (x) - m$ ，若函数 $φ (x)$ 有两不同零点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ．
①求实数m的取值范围；
②证明： $e^{x_{2}} - e^{x_{1}} < 2 m + 1$ ．

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