浙江省绍兴市柯桥区2022届高三数学高考及选考科目适应性考试试卷

试卷更新日期：2022-06-22 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in R | x \leq 0} ， B = {x \in R | - 1 \leq x \leq 1}$ ，则 $∁_{R} (A ∪ B) =$ （）

A、 $(- \infty ， 0)$ B、 $[- 1 ， 0]$ C、 $[0 ， 1]$ D、 $(1 ， + \infty)$

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2. 人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到分数、从有理数到实数等等.16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了 $i^{2} = - 1$ ， 17世纪法因数学家笛卡儿把i称为“虚数”，用 $a + b i (a 、 b \in R)$ 表示复数，并在直角坐标系上建立了“复平面”．若复数z满足方程 $z^{2} + 2 z + 5 = 0$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 1 + 2 i$ B、 $- 2 - i$ C、 $- 1 \pm 2 i$ D、 $- 2 \pm i$

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3. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = λ (λ > 0)$ ，则该椭圆的离心率 $e =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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4. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $12 - \frac{2}{3} π$ B、 $12 - π$ C、 $12 - 2 π$ D、 $12 - 3 π$

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5. 下图中的函数图象所对应的解析式可能是（）

A、 $y = - \frac{1}{2^{| x - 1 |}}$ B、 $y = - | \frac{1}{2^{x}} - 1 |$ C、 $y = - 2^{| x - 1 |}$ D、 $y = - | 2^{x} - 1 |$

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6. 若实数x，y满足的约束条件 ${\begin{array}{l} x + 1 \geq 0 \\ x + y + 1 \geq 0 \\ x - y - 2 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = \frac{y + 3}{x}$ 的取值范围是（）

A、 $[- 3 ， 1)$ B、 $(- \infty ， - 3] ∪ (1 ， + \infty)$ C、 $[- 3 ， 3]$ D、 $(- \infty ， - 3] ∪ [3 ， + \infty)$

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7. $△ A B C$ 中，“ $A > B$ ”是“ $c o s 2 A < c o s 2 B$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，O为正方体的中心，P为正方体表面上的一个动点，若直线 $O P$ 与平面 $A_{1} B_{1} D$ 、平面 $A C D_{1}$ 所成的角都是 $30 °$ ，则这样的点P的个数为（）

A、4 B、6 C、8 D、无数个

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9. 定义在R上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (2 - x) = f (x + 2)$ ，当 $x \in [0 ， 2]$ 时 $f (x) = {(\sqrt{e})}^{x}$ ，若在区间 $x \in [0 ， 10]$ 内，函数 $g (x) = f (x) - (x + 1)^{m}$ 有个5零点，则实数m的取值范围是（）

A、 $(0 ， l o g_{11} e)$ B、 $(0 ， l o g_{11} e) ∪ (\frac{1}{2} ， l o g_{7} e)$ C、 $(l o g_{11} e ， \frac{1}{2})$ D、 $(l o g_{11} e ， \frac{1}{2}) ∪ (\frac{1}{2} ， l o g_{7} e)$

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10. 已知正项数列 ${a_{n}}$ ，对任意的正整数m、n都有 $2 a_{m + n} \leq a_{2 m} + a_{2 n}$ ，则下列结论可能成立的是（）

A、 $\frac{a_{n}}{m} + \frac{a_{m}}{n} = a_{m n}$ B、 $n a_{m} + m a_{n} = a_{m + n}$ C、 $a_{m} + a_{n} + 2 = a_{m n}$ D、 $2 a_{m} \cdot a_{n} = a_{m + n}$

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二、填空题

11. 二项式 ${(2 x - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中当且仅当第4项的二项式系数最大，则 $n =$ ，展开式中含 $x^{2}$ 的项的系数为．

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12. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ，直线l交双曲线两条渐近线于点A、B，M为线段 $A B$ 的中点，设直线l、 $O M$ 的斜率分别为 $k_{1} 、 k_{2}$ ，若 $k_{1} \cdot k_{2} = \frac{3}{2}$ ，则渐近线方程为．

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13. 已知 $△ A B C$ 是圆心为O，半径为R的圆的内接三角形，M是圆O上一点，G是 $△ A B C$ 的重心．若 $\vec{O M} ⊥ \vec{O G}$ ，则 ${\vec{A M}}^{2} + {\vec{B M}}^{2} + {\vec{C M}}^{2} =$ ．

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14. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (9 - a^{x}) ， g (x) = l o g_{a} (x^{2} - a x)$ ，若对任意 $x_{1} \in [1 ， 2]$ ，存在 $x_{2} \in [3 ， 4]$ 使得 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ 恒成立，则实数a的取值范围为．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中，D为 $B C$ 边上一近B点的三等分点， $A B = \sqrt{3} ， A C = \sqrt{2} ， ∠ C = \frac{π}{3}$ ，则 $\frac{s i n ∠ B A D}{s i n ∠ D A C} =$ ， $S_{△ A C D} =$ ．

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16. 设 $a ， b ， c \in R ， a \neq 0$ ，若函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 有且仅有一个零点，且 $2 a^{2} + 3 a b + 8 a c = 1$ ，则 $a + b$ 的最小值为， $a + b + a b$ 的最小值为．

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17. 盆子中有大小相同的球共6个，其中标号为1的球有3个，标号为2的球有2个，标号为3的球有1个，第1次从盒子中任取1个球，放回后第2次再任取1个球，记第1次与第2次取到的球的标号之和为 $ξ$ ，则 $P (ξ = 3) =$ ． $E (ξ) =$ ．

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三、解答题

18. 函数 $f (x) = A s i n (π x + φ) ， x \in R$ （其中 $A > 0 ， 0 \leq φ \leq \frac{π}{2}$ ）部分图象如图所示， $P (\frac{1}{3} ， A)$ 是该图象的最高点，M，N是图象与x轴的交点．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期及 $φ$ 的值；

(2)、若 $∠ P M N + ∠ P N M = \frac{π}{4}$ ，求A的值．

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19. 如图，三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A_{1} A = A_{1} B = A_{1} C = \sqrt{3}$ ， $A B = B C = 2$ ．

(1)、证明： $A_{1} C_{1} ⊥ A_{1} B$ ；

(2)、求直线 $A_{1} C_{1}$ 与平面 $A_{1} C B$ 所成的角．

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20. 已知非零数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{n} (a_{n + 2} - 2) = a_{n + 1} (a_{n + 1} - 2) ， n \in N^{*}$ ．

(1)、若数列 ${a_{n}}$ 是公差不为0的等差数列，求它的通项公式；

(2)、若 $a_{2} = 5$ ，证明：对任意 $n \in N^{*} ， a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ + a_{n} \leq 3^{n} - 2$ ．

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21. 如图，已知抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ ，直线l过点 $T (0 ， t) (t > 0)$ 与抛物线交于A、B两点，且在A、B处的切线交于点P，过点P且垂直于x轴的直线 $l^{'}$ 分别交抛物线C、直线l于M、N两点．直线l与曲线 $C' ： x^{2} = 4 (y + t)$ 交于C、D两点．

(1)、求证：点N是 $A B$ 中点；

(2)、设 $△ D M N 、 △ P A B$ 的面积分别为 $S_{1} 、 S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围．

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22. 设a为实数，函数 $f (x) = a e^{x} + x l n x + 1$ ．

(1)、当 $a = - \frac{1}{e}$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、判断函数 $f (x)$ 零点的个数．

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