浙江省金太阳2022届高三下学期数学5月高考仿真考试试卷

试卷更新日期：2022-06-22 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 2}$ ， $B = {x \in N | - x^{2} - 2 x + 8 > 0}$ 则 $A ∩ B =$ （）

A、{0} B、 ${- 1 ， 0}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 2}$ D、 ${0 ， 2}$

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2. 若复数 $z = \frac{1}{1 + i}$ ( $i$ 为虚数单位)，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $\frac{1 + i}{2}$ B、 $\frac{1 - i}{2}$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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3. “曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，则 $A$ ， $B$ 两点的“曼哈顿距离”为 $| x_{2} - x_{1} | + | y_{2} - y_{1} |$ ，下列直角梯形中的虚线可以作为 $A$ ， $B$ 两点的“曼哈顿距离”是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知a，b是不同的直线， $α ， β$ 是不同的平面，且 $a ⊥ α ， b ⊥ β$ ，则“ $a ∥ b$ ”是“ $α ∥ β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要

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5. 已知实数x，y满足不等式组 ${\begin{array}{l} x + 2 y - 10 \leq 0 \\ x - 2 y - 2 \leq 0 \\ y \leq 2 x \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最大值是（）

A、8 B、12 C、 $\frac{25}{2}$ D、14

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6. 如图所示的是函数 $y = f (x)$ 的图像，则函数 $f (x)$ 可能是（）

A、 $y = x s i n x$ B、 $y = x c o s x$ C、 $y = x s i n x + x c o s x$ D、 $y = x s i n x - x c o s x$

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7. 在 ${(x^{2} - 2 x - 3)}^{5}$ 的展开式中含 $x^{10}$ 和含 $x^{2}$ 的项的系数之和为（）

A、-674 B、-675 C、-1080 D、1485

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8. 如图，矩形 $B D E F$ 所在平面与正方形 $A B C D$ 所在平面互相垂直， $B D = 2 ， D E = 1$ ，点P在线段 $E F$ 上，给出下列命题：
①存在点P，使得直线 $D P / /$ 平面 $A C F$ ②存在点P，使得直线 $D P ⊥$ 平面 $A C F$ ③直线 $D P$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值的取值范围是 $[\frac{\sqrt{5}}{5} ， 1]$ ④三棱锥 $A - C D E$ 的外接球被平面 $A C F$ 所截取的截面面积是 $\frac{9 π}{8}$ 其中所有真命题的序号是（）

A、①③ B、①④ C、②④ D、①③④

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9. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + \infty)$ ，对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $f (f (x) - l o g_{2} x) = 20$ ．现已知 $f (a) = f^{'} (a) + 17$ ，那么（）

A、 $a \in (1 ， 1.5)$ B、 $a \in (1.5 ， 2)$ C、 $a \in (2 ， 2.5)$ D、 $a \in (2.5 ， 3)$

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10. 已知 $△ A_{n} B_{n} C_{n} (n = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯)$ 是直角三角形， $A_{n}$ 是直角，内角 $A_{n} ， B_{n} ， C_{n}$ 所对的边分别为 $a_{n} ， b_{n} ， c_{n}$ ，面积为 $S_{n}$ ．若 $b_{1} = 4 ， c_{1} = 3 ， b_{n + 1}^{2} = \frac{a_{n + 1}^{2} + c_{n}^{2}}{3} ， c_{n + 1}^{2} = \frac{a_{n + 1}^{2} + b_{n}^{2}}{3}$ ，则下列选项错误的是（）

A、 ${S_{2 n}}$ 是递增数列 B、 ${S_{2 n - 1}}$ 是递减数列 C、数列 ${b_{n} - c_{n}}$ 存在最大项 D、数列 ${b_{n} - c_{n}}$ 存在最小项

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二、填空题

11. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 4 y + 3 = 0$ ，则其半径为，若对于任意的 $k \in R$ ，直线 $y = k x + b$ 与圆C都有交点，则实数b的取值范围是．

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12. 在算术三角形（也叫帕斯卡尔三角形）中，每个元素（不在第一列）是其正下方的数与左下方的数的差，如图所示，则第四行第五个数是；若第三行对应的数列记为 ${a_{n}}$ ，则 $a_{n} =$ ．

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13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是，表面积是．

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14. 在 $△ A B C$ 中， $C D$ 是 $∠ A C B$ 的角平分线且 $\vec{A B} = 4 \vec{A D} ， | A D | = \sqrt{2}$ ，若 $| C D | = 3$ ，则 $∠ C D A =$ ， $△ A B C$ 的面积为．

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15. 现有一摸球游戏，规则如下：袋子里有形状和大小完全一样的标有1～6号的6个小球，游戏参与者每次从袋中不放回地摸1个球，若摸到1号球或6号球得2分，摸到3号球、4号球或5号球得1分，摸到2号球得0分，若参与者摸到2号球或摸了三次后不管有没有摸到2号球游戏均结束．记随机变量X为参与者摸球结束后获得的分数，则X的数学期望是．

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16. 已知双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1} ， F_{2}$ ，点A是圆 $(x + 2)^{2} + (y - 4)^{2} = 4$ 上的一个动点，且线段 $A F_{2}$ 的中点B在E的一条渐近线上．若E的焦距为4，则E的离心率的最小值是．

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17. 已知平面向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c} ， \vec{d}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 2 ， \vec{a} ⊥ \vec{b} ， | \vec{b} + 2 \vec{c} | = 2$ ，若 $(\vec{d} - \vec{a}) \cdot (\vec{d} + 2 \vec{b}) \leq 4$ ，则 $| \vec{c} + \vec{d} |$ 的最大值是．

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = c o s x s i n (\frac{π}{2} - x) - \sqrt{3} s i n x s i n (\frac{π}{2} + x)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期以及在 $[0 ， π]$ 上的单调递增区间；

(2)、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到函数 $g (x)$ 的图象．在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 $g (B) = 0 ， a = 4 ， b = \frac{7}{2}$ ，求c的值．

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19. 如图，在三棱锥 $D - A B C$ 中，侧面 $D A C ⊥$ 底面 $A B C$ ， E为 $B D$ 的中点，

(1)、若 $A B = A D ， C B = C D$ ，求证： $B D ⊥ A C$ ．

(2)、已知 $A B = \sqrt{3} A D ， ∠ B A C = 150 ° ， ∠ D A C = 60 °$ ，求直线 $A D$ 与平面 $A C E$ 所成角的正弦值．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公差为2的等差数列，数列 ${b_{n}}$ 是首项为2的等比数列，且 $a_{1} + a_{2} = b_{3} ， b_{2} + 3 = a_{3}$ ．设数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = {\begin{array}{l} a_{n} ， n \neq 2^{k} \\ b_{n} ， n = 2^{k} \end{array}$ ，其中 $k \in N^{*}$ ，其前n项和为 $S_{n}$ ．

(1)、求 $S_{2^{n}}$ 的值．

(2)、若 $d_{n} = \frac{1}{S_{2^{n}} - 3}$ ，求证： $d_{1} + d_{2} + d_{3} + ⋯ + d_{n} < \frac{11}{18}$ ．

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21. 如图，设曲线ξ：y²＝x﹣1过抛物线Γ：y²＝2px（p＞0）的焦点F，直线l₁过F与Γ从下到上依次交于A，B，与ξ交于F，P，直线l₂过F与Γ从下到上依次交于C，D，与ξ交于Q，F，直线l₁ ， l₂的斜率乘积为﹣2．

(1)、求P，Q两点的纵坐标之积；

(2)、设△ACF，△PQF，△BDF的面积分别为S₁ ， S₂ ， S₃ ，求 $\frac{S_{1} \cdot S_{3}}{S_{2}^{2}}$ 的值．

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22. 已知函数 $f (x) = a l n x - x + \frac{1}{x} (a > 0)$ ．

(1)、当 $x \geq 1$ 时， $f (x) \leq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a = 1$ 时， $g (x) = x f (x) + x^{2} - 1$ ，方程 $g (x) = m$ 的根为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $x_{2} > x_{1}$ ，求证： $x_{2} - x_{1} > 1 + e m$ ．

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