山东省淄博市2022届高三数学三模试卷

试卷更新日期：2022-06-22 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | \frac{x - 1}{x + 2} \geq 0}$ ， $B = {- 2 ， - 1 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B MathType@MTEF@5@5@+=
feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
4rNCHbWexLMBbXgBd9gzLbvyNv2CaeHbl7mZLdGeaGqiVu0Je9sqqr
pepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs
0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaai
aabeqaamaabaabauaakeaadaqadaqaamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuD
JXwAKbstHrhAG8KBLbacgaGae8xaIa=aaSbaaSqaaiaadkfaaeqaaO
GaamyqaaGaayjkaiaawMcaaiablMIijjaadkeaaaa@4F8D@$ （）

A、 ${- 2 ， - 1}$ B、 ${- 1 ， 1}$ C、 ${1 ， 2 ， 3}$ D、 ${- 1}$

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2. 已知条件 $p ：$ 直线 $x + 2 y - 1 = 0$ 与直线 $a^{2} x + (a + 1) y - 1 = 0$ 平行，条件 $q ：$ $a = 1$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线被圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 所截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，则 $p =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、4

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4. 若球 $O$ 的半径为5，一个内接圆台的两底面半径分别为3和4（球心 $O$ 在圆台的两底面之间），则圆台的体积为（）

A、 $\frac{259}{3} π$ B、 $\frac{37}{3} π$ C、 $(25 + 35 \sqrt{2}) π$ D、 $(25 + 7 \sqrt{2}) π$

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5. 如图在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $F$ 为 $A B$ 中点， $C E = 3$ ， $C B = 8$ ， $A B = 12$ ，则 $\vec{E A} \cdot \vec{E B} =$ （）

A、-15 B、-13 C、13 D、14

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6. 已知 $α \in (- \frac{π}{2} ， 0)$ ，且 $\sqrt{2} c o s 2 α = s i n (α + \frac{π}{4})$ ，则 $s i n 2 α =$ （）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、-1 D、1

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7. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $- a_{1} ， S_{2} ， S_{3}$ 成等差数列．若存在两项 $a_{m} ， a_{n} (m ， n \in N^{*})$ 使得 $\sqrt{a_{m} \cdot a_{n}} = 8 a_{1}$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{9}{n}$ 的最小值是（）

A、16 B、2 C、 $\frac{10}{3}$ D、 $\frac{8}{3}$

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8. 正 $2022$ 边形 $A_{1} A_{2} ⋯ A_{2022}$ 内接于单位圆 $O$ ，任取其两个不同顶点 $A_{i}$ 、 $A_{j}$ ，则 $| \vec{O A_{i}} + \vec{O A_{j}} | \leq 1$ 的概率是（）

A、 $\frac{676}{2021}$ B、 $\frac{675}{2021}$ C、 $\frac{674}{2021}$ D、 $\frac{673}{2021}$

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二、多选题

9. 已知矩形 $A B C D$ 中 $A B = 2$ ， $A D = 1$ ．若矩形的四个顶点中恰好有两点为双曲线 $Γ$ 的焦点，另外两点在双曲线 $Γ$ 上，则该双曲线的离心率可为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、 $\sqrt{5} + 2$ D、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

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10. 已知复数 $z_{1} ， z_{2}$ ，满足 $| z_{1} | \cdot | z_{2} | \neq 0$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $| z_{1} | = | z_{2} |$ ，则 ${z_{1}}^{2} = {z_{2}}^{2}$ B、 $| z_{1} + z_{2} | \leq | z_{1} | + | z_{2} |$ C、若 $z_{1} z_{2} \in R$ ，则 $\frac{z_{1}}{z_{2}} \in R$ D、 $| z_{1} z_{2} | = | z_{1} | | z_{2} |$

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11. 甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以 $A_{1} ， A_{2}$ 和 $A_{3}$ 表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以 $B$ 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（）

A、事件 $B$ 与事件 $A_{i} (i = 1 ， 2 ， 3)$ 相互独立 B、 $P (A_{1} B) = \frac{5}{22}$ C、 $P (B) = \frac{2}{5}$ D、 $P (A_{2} | B) = \frac{8}{45}$

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12. 已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ ，满足 $f (x) + f (2 - x) = 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $x = 1$ 对称 B、 $f (x + 4) = f (x)$ C、若函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上单调递增，则 $f (x)$ 在区间 $[2021 ， 2022]$ 上单调递增 D、若函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， 1)$ 上的解析式为 $f (x) = l n x + 1$ ，则 $f (x)$ 在区间 $(2 ， 3)$ 上的解析式为 $f (x) = l n (x - 1) + 1$

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三、填空题

13. 若 $A_{m}^{3} = 6 C_{m}^{4} (m \in Ν * ， m \geq 4)$ ，则 $m =$ ．

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14. 设 $f (x) = {\begin{array}{l} \sqrt{x} ， 0 < x < 2 \\ 3 (x - 2) ， x \geq 2 \end{array}$ ．若 $f (a) = f (a + 2)$ ，则 $a =$ ．

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15. 设随机变量 $X ~ B (2 ， p)$ ，满足 $P (X \geq 1) = \frac{15}{16}$ ．若 $Y = 2 X - 1$ ，则 $D (Y) =$ ．

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16. 已知我国某省二、三、四线城市数量之比为 $1 ： 3 ： 6$ ． $2022$ 年 $3$ 月份调查得知该省二、三、四线城市房产均价为 $0.8$ 万元/平方米，方差为 $11$ ．其中三、四线城市的房产均价分别为 $1$ 万元/平方米， $0.5$ 万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为 $10 ， 8$ ，则二线城市房产均价为万元/平方米，二线城市房价的方差为

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n ω x c o s ω x - c o s^{2} ω x + \frac{1}{2} (ω > 0)$ ，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为 $\sqrt{4 + \frac{π^{2}}{4}}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ， $a = 4$ ， $b c = 12$ ， $f (A) = 1$ ．若角 $A$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 于 $D$ ，求 $A D$ 的长．

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18. 设 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $S_{3} = a_{5}$ ，且 $a_{2} - 2$ ， $a_{3}$ ， $S_{5}$ 成等比数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = 2^{- \sqrt{S_{n}}}$ ，求数列 ${a_{n} \cdot b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 选修4-4：坐标系与参数方程
元旦期间，某轿车销售商为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种.方案一：每满6万
元，可减6千元；方案二：金额超过6万元（含6万元），可摇号三次，其规则是依次从装有2个幸运号、2个吉祥号的一号摇号机，装有2个幸运号、2个吉祥号的二号摇号机，装有1个幸运号、3个吉祥号的三号摇号机各摇号一次，其优惠情况为：若摇出3个幸运号则打6 折，若摇出2个幸运号则打7 折；若摇出1个幸运号则打8折；若没摇出幸运号则不打折.

(1)、若某型号的车正好6万元，两个顾客都选择第二种方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率；

(2)、若你朋友看中了一款价格为10万的便型轿车，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种付款方案.

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20. 已知如图，在多面体 $A B C E F$ 中， $A C = B C = 2$ ， $∠ A C B = 12 0^{∘}$ ， $D$ 为 $A B$ 的中点， $E F / / C D$ ， $E F = 1$ ， $B F ⊥$ 平面 $A E F$ ．

(1)、证明：四边形 $E F D C$ 为矩形；

(2)、当三棱锥 $A - B E F$ 体积最大时，求平面 $A E F$ 与平面 $A B E$ 夹角的余弦值．

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21. 如图，已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{1}{2}$ ，由椭圆 $E$ 的四个顶点围成的四边形的面积为 $16 \sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、设 $A$ 为椭圆 $E$ 的右顶点，过点 $M (- 2 a ， 0)$ 且斜率不为 $0$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 相交于点 $B ， C$ （点 $B$ 在 $M C$ 之间），若 $N$ 为线段 $B C$ 上的点，且满足 $\frac{| M B |}{| M C |} = \frac{| B N |}{| N C |}$ ，证明： $∠ A N C = 2 ∠ A M C$ ．

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22. 已知 $m \in N ， m \geq 2$ ， $a ， b$ 为函数 $f (x) = \frac{x}{m} (e^{x} - m)$ 的两个零点， $a < b$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(a ， 0)$ 处的切线方程为 $y = g (x)$ ，其中 $e = 2.71828 ⋯$ 为自然对数的底数．

(1)、当 $x > 0$ 时，比较 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的大小；

(2)、若 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = n$ ，证明： $x_{2} - x_{1} < \frac{2 n}{l n m} + l n m$ ．

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