山东省烟台市2022届高三数学三模试卷

试卷更新日期：2022-06-22 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | x \geq 2}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x < 3}$ ，则 $(∁_{R} A) ∩ B =$ （）

A、 ${x | 2 \leq x < 3}$ B、 ${x | - 1 < x < 2}$ C、 ${x | 2 < x < 3}$ D、 ${x | - 1 < x \leq 2}$

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2. 复数 $\frac{2 i}{1 + i}$ 的共轭复数为（）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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3. 若 $a$ 和 $α$ 分别为空间中的直线和平面，则“ $a ⊥ α$ ”是“ $a$ 垂直 $α$ 内无数条直线”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 屈原是中国历史上第一位伟大的爱国诗人，中国浪漫主义文学的奠基人，“楚辞”的创立者和代表作者，其主要作品有《离骚》、《九歌》、《九章》、《天问》等.某校于2022年6月第一周举办“国学经典诵读”活动，计划周一至周四诵读屈原的上述四部作品，要求每天只诵读一部作品，则周一不读《天问》，周三不读《离骚》的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{7}{12}$ D、 $\frac{5}{6}$

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5. 过双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的焦点且斜率不为0的直线交 $C$ 于A， $B$ 两点， $D$ 为 $A B$ 中点，若 $k_{A B} \cdot k_{O D} = \frac{1}{2}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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6. 若 $2 c o s^{2} (α - \frac{π}{3}) = 1 + c o s 2 α$ ，则 $t a n 2 α$ 的值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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7. 如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆 $O$ ， $P$ 为圆 $O$ 上任一点，若 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则 $2 x + 2 y$ 的最大值为（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、2 C、 $\frac{4}{3}$ D、1

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l n x | ， x > 0 \\ x^{2} + 2 x - 1 ， x \leq 0 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = a x - 1$ 有且仅有三个实数解，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $0 < a < 1$ B、 $0 < a < 2$ C、 $a > 1$ D、 $a > 2$

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二、多选题

9. 若某地区规定在一段时间内没有发生大规模群体病毒感染的标准为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据该地区下列过去10天新增疑似病例的相关数据，可以认为该地区没有发生大规模群体感染的是（）

A、平均数为2，中位数为3 B、平均数为1，方差大于0.5 C、平均数为2，众数为2 D、平均数为2，方差为3

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10. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x) = 2 c o s (2 x - \frac{π}{3})$ B、满足 $f (x) > 1$ 的 $x$ 的取值范围为 $(k π ， k π + \frac{π}{3})$ （ $k \in Z$ ） C、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到的图象的一条对称轴 $x = \frac{π}{3}$ D、函数 $f (x)$ 与 $g (x) = - 2 c o s 2 x$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称

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11. 二进制是计算中广泛采用的一种数制，由18世纪德国数理哲学家莱布尼兹发现，二进制数据是用0和1两个数码来表示的数.现采用类似于二进制数的方法构造数列：正整数 $n = a_{k} \cdot 2^{k} + a_{k - 1} \cdot 2^{k - 1} + \cdot \cdot \cdot + a_{0} \cdot 2^{0}$ ，其中 $a_{i} \in {0 ， 1}$ （ $i = 0 ， 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， k$ ），记 $b_{n} = a_{0} + a_{1} + \cdot \cdot \cdot + a_{k - 1} + a_{k}$ .如 $3 = 1 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0}$ ， $b_{3} = 1 + 1 = 2$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $b_{9} = 3$ B、 $b_{2 n} = b_{n}$ C、 $b_{2 n + 3} = b_{n} + 1$ D、 $b_{8 n + 5} = b_{4 n + 3}$

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12. 某公司通过统计分析发现，工人工作效率 $E$ 与工作年限 $r$ （ $r > 0$ ），劳累程度 $T$ （ $0 < T < 1$ ），劳动动机 $b$ （ $1 < b < 5$ ）相关，并建立了数学模型 $E = 10 - 10 T \cdot b^{- 0.14 r}$ .已知甲､乙为该公司的员工，则下列说法正确的有（）

A、甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强 B、甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱 C、甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高 D、甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高

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三、填空题

13. 若 $f (x) = g (x) \cdot l n (x^{2} - 1)$ 为奇函数，则 $g (x)$ 的表达式可以为 $g (x) =$ .

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14. 若 ${(1 - a x)}^{8}$ 展开式中第6项的系数为1792，则实数 $a$ 的值为.

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15. 已知动点 $P$ 到点 $A (1 ， 0)$ 的距离是到点 $B (1 ， 3)$ 的距离的2倍，记 $P$ 点的轨迹为 $C$ ，直线 $y = k x + 1$ 交 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点， $Q (1 ， 4)$ ，若 $△ Q M N$ 的面积为2，则实数 $k$ 的值为.

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16. 某学校开展手工艺品展示活动，小明同学用塑料制作了如图所示的手工艺品，其外部为一个底面边长为6的正三棱柱，内部为一个球，球的表面与三棱柱的各面均相切，则该内切球的表面积为，三棱柱的顶点到球的表面的最短距离为.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b = 2 a c o s A c o s C + 2 c c o s^{2} A$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = 4$ ，求 $c - 2 b$ 的取值范围.

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18. 当下，大量的青少年沉迷于各种网络游戏，极大地毒害了青少年的身心健康.为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表：
关卡 $x$
1
2
3
4
5
6
平均过关时间 $y$ （单位：秒）
50
78
124
121
137
352
计算得到一些统计量的值为： $\sum_{i = 1}^{6} u_{i} = 28.5 ， \sum_{i = 1}^{6} x_{i} u_{i} = 106.05$ ，其中， $u_{i} = l n y_{i}$ .
参考公式：对于一组数据 $(x_{i} ， y_{i})$ （ $i = 1 ， 2 ， 3 ， \cdot \cdot \cdot ， n$ ），其经验回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} y}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{- 2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、若用模型 $y = a e^{b x}$ 拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，根据提供的数据，求出 $y$ 与 $x$ 的经验回归方程；

(2)、制定游戏规则如下：玩家在每关的平均过关时间内通过可获得积分2分并进入下一关，否则获得 $- 1$ 分且该轮游戏结束.甲通过练习，前3关都能在平均时间内过关，后面3关能在平均时间内通过的概率均为 $\frac{4}{5}$ ，若甲玩一轮此款益脑游戏，求“甲获得的积分 $X$ ”的分布列和数学期望.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，当 $n \geq 2$ 时， $S_{n}^{2} = a_{n} S_{n} - a_{n}$ .

(1)、求 $S_{n}$ ；

(2)、设数列 ${\frac{2^{n}}{S_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $λ T_{n} \leq (n^{2} + 9) \cdot 2^{n}$ 恒成立，求 $λ$ 的取值范围.

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20. 如图，在平面五边形 $P A B C D$ 中， $△ P A D$ 为正三角形， $A D ∥ B C$ ， $∠ D A B = 90 °$ 且 $A D = A B = 2 B C = 2$ .将 $△ P A D$ 沿 $A D$ 翻折成如图所示的四棱锥 $P - A B C D$ ，使得 $P C = \sqrt{7}$ . $F$ ， $Q$ 分别为 $A B$ ， $C E$ 的中点.

(1)、求证： $F Q$ $∥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若 $\frac{D E}{P E} = \frac{1}{2}$ ，求平面 $E F C$ 与平面 $P A D$ 夹角的余弦值.

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，其左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $T$ 为椭圆 $C$ 上任意一点， $△ T F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为1.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知 $A (0 ， 1)$ ，过点 $(0 ， \frac{1}{2})$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $M$ ， $N$ ，直线 $A M$ ， $A N$ 与 $x$ 轴的交点分别为 $P$ ， $Q$ ，证明：以 $P Q$ 为直径的圆过定点.

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - l n (x + 1)$ （ $a \in R$ ）.

(1)、证明：当 $a > 0$ 时，函数 $f (x)$ 存在唯一的极值点；

(2)、若不等式 $f (x) \geq c o s (a - 1)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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关卡 $x$	1	2	3	4	5	6
平均过关时间 $y$ （单位：秒）	50	78	124	121	137	352