山东省威海市2022届高三下学期数学三模试卷

试卷更新日期：2022-06-22 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数z与复平面内的点 $(1 ， 2)$ 对应，则 $\frac{z - 1}{1 - i} =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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2. 设集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0} ， B = {x | 2 x - a < 0}$ ，且 $A ∩ B = {x | - 1 < x < 1}$ ，则 $a =$ （）

A、-1 B、-2 C、1 D、2

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3. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{3} = 4 ， S_{9} = 18$ ，则公差 $d =$ （）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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4. 已知函数 $f (x) = s i n x c o s (2 x + φ) (φ \in [0 ， π])$ 为偶函数，则 $φ =$ （）

A、0 B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、π

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5. 甲、乙两人相约在某健身房锻炼身体，他们分别在两个网站查看这家健身房的评价．甲在网站A查到共有840人参与评价，其中好评率为95%，乙在网站B查到共有1260人参与评价，其中好评率为85%．综合考虑这两个网站的信息，则这家健身房的总好评率为（）

A、88% B、89% C、91% D、92%

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6. 已知单位向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} - \vec{b} | = 1$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a}$

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7. 已知圆柱的高和底面半径均为4， $A B$ 为上底面圆周的直径，点P是上底面圆周上的一点且， $A P = B P$ ， $P C$ 是圆柱的一条母线，则点P到平面 $A B C$ 的距离为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、 $2 \sqrt{2}$

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8. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，以原点O为顶点， $F_{2}$ 为焦点的抛物线与双曲线C在第一象限的交点为P．若 $∠ P F_{1} F_{2} = 45 °$ ，则C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2} + 1$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3} + 1$

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二、多选题

9. 若 $a > b > 1$ ， $0 < m < 1$ ，则（）

A、 $a^{m} < b^{m}$ B、 $m^{a} < m^{b}$ C、 $l o g_{m} a < l o g_{m} b$ D、 $l o g_{a} m < l o g_{b} m$

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10. 已知 $α 、 β$ 是两个不同的平面，m、n是平面 $α$ 及 $β$ 外两条不同的直线，给出四个论断：① $m ⊥ n$ ， ② $α ∥ β$ ， ③ $n ∥ β$ ， ④ $m ⊥ α$ ，则正确的是（）

A、②③④ $\Rightarrow$ ① B、①③④ $\Rightarrow$ ② C、①②④ $\Rightarrow$ ③ D、①②③ $\Rightarrow$ ④

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11. 数学中有许多优美的曲线，星形曲线就是其中之一，它最早是由古希腊天文学家发现的，罗默、伯努利、莱布尼兹等数学家都研究过其性质在工业生产中，利用星形曲线的特性，能设计出一种超轻超硬材料，展现了数学模型的广泛性和应用性．已知星形曲线 $E ： x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 1$ ，设 $P (x ， y)$ 为E上任意一点，则（）

A、曲线E与坐标轴有四个交点 B、 $| x | \leq 1 ， | y | \leq 1$ C、曲线E有且只有两条对称轴 D、 $| x | + | y | \leq 1$

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12. 已知函数 $f (x) = \sqrt{| x + a | - a} - x$ ，则（）

A、当 $a = 1$ 时，函数 $f (x)$ 的定义域为 $[- 2 ， 0]$ B、当 $a = 0$ 时，函数 $f (x)$ 的值域为 $R$ C、当 $a = - 1$ 时，函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递减 D、当 $a \in (0 ， \frac{1}{4})$ 时，关于x的方程 $f (a x) = a$ 有两个解

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三、填空题

13. 已知 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $t a n α = 2$ ，则 $c o s α =$ .

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14. 圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} + 4 y = 0$ 的公共弦长为．

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15. 设随机事件A、B，已知 $P (A) = 0.4$ ， $P (B | A) = 0.3$ ， $P (B | \bar{A}) = 0.2$ ，则 $P (A B) =$ ， $P (B) =$ .

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16. 已知曲线 $C_{1} ： y = e^{x} + x ， C_{2} ： y = - x^{2} + 2 x + a (a > 0)$ ，若有且只有一条直线同时与 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 都相切，则 $a =$ ．

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四、解答题

17. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正值， $a_{3}$ 是 $4 a_{1}$ 、 $2 a_{2}$ 的等差中项， $a_{5} = 32$ ，记 $b_{n} = l o g_{2} a_{2 n - 1}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < \frac{1}{2}$ ．

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18. 如图所示，在等边 $△ A B C$ 中， $A B = 6$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $A B ， A C$ 上的点，且 $A M = A N = 4$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点， $A E$ 交 $M N$ 于点 $F$ ．以 $M N$ 为折痕把 $△ A M N$ 折起，使点 $A$ 到达点 $P$ 的位置 $(0 < ∠ P F E < π)$ ，连接 $P B ， P E ， P C$ ．

(1)、证明： $M N ⊥ P E$ ；

(2)、设点 $P$ 在平面 $A B C$ 内的射影为点 $Q$ ，若二面角 $P - M N - B$ 的大小为 $\frac{2}{3} π$ ，求直线 $Q C$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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19. 如图所示，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B D = \sqrt{3}$ ， $∠ A B D = ∠ A C D = \frac{π}{6}$ ，设 $∠ C A D = θ ， θ \in (0 ， \frac{π}{3})$ ．

(1)、若 $θ = \frac{π}{4}$ ，求 $C D$ 的长；

(2)、当 $θ$ 为何值时， $△ B C D$ 的面积取得最大值，并求出该最大值．

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20. 某生物实验室用小白鼠进行新冠病毒实验，已知6只小白鼠中有1只感染新冠病毒且无患病症状，将它们分别单独封闭隔离到6个不同的操作间内，由于工作人员的疏忽，没有记录感染新冠病毒的小白鼠所在的操作间，需要通过化验血液来确定．血液化验结果呈阳性即为感染新冠病毒，呈阴性即没有感染新冠病毒．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染新冠病毒的小白鼠为止．
方案乙：先任取4只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性，则表明感染新冠病毒的小白鼠为这4只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定感染新冠病毒的小白鼠为止；若结果呈阴性，则在另外2只中任取1只化验．

(1)、求采用方案甲所需化验的次数为4次的概率；

(2)、用X表示采用方案乙所需化验的次数，求X的分布列：

(3)、求采用方案乙所需化验的次数少于采用方案甲所需化验的次数的概率．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 3$ 与椭圆C有且仅有两个交点且都在y轴上．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、已知直线l过椭圆C的左顶点A，且l交圆 $C_{1}$ 于M、N两点，P为椭圆C上一点，若以 $P M$ 为直径的圆过点A，求 $△ P M N$ 面积的最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = 2 l n x - x + \frac{a}{x}$ ．

(1)、当 $a = \frac{3}{4}$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，从下面两个结论中选一个证明．
① $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < \frac{2}{\sqrt{a}} - 2$ ；
② $f (x_{2}) < \frac{2}{3} a + 2 l n 2 - 2$ ．

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