山东省日照市2022届高三下学期数学5月校际联合考试（三模）试卷

试卷更新日期：2022-06-22 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 集合 $A = {x | - 1 \leq x < 2} ， B = {x | x > 1}$ ，则 $A ∩ (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${x | - 1 \leq x < 1}$ B、 ${x | - 1 \leq x \leq 1}$ C、 ${x | 1 \leq x < 2}$ D、 ${x | x < 2}$

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2. 若复数 $z = \frac{i}{1 + i}$ （i为虚数单位），则 $| \bar{z} | =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 3) ， \vec{b} = (2 ， - 4)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影是（）

A、 $- \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $- \sqrt{10}$ D、 $\sqrt{10}$

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4. 下列双曲线中，焦点在y轴上，且渐近线互相垂直的是（）

A、 $y^{2} - x^{2} = 4$ B、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{3} - x^{2} = 1$ D、 $x^{2} - y^{2} = 1$

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5. 设a>0且 $a \neq 1$ ，则“函数 $f (x) = a^{x}$ ”在R上是增函数”是“函数 $g (x) = x^{a}$ ”“在 $(0 ， + \infty)$ 上是增函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 若定义在 $R$ 的奇函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0]$ 单调递减，则不等式 $f (x) + f (x - 2) \geq 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， 2]$ B、 $(- \infty ， 1]$ C、 $[1 ， + \infty)$ D、 $[2 ， + \infty)$

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7. 在公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} ， a_{2} ， a_{k_{1}} ， a_{k_{2}} ， a_{k_{3}}$ 成公比为3的等比数列，则 $k_{3} =$ （）

A、14 B、34 C、41 D、86

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8. 若将整个样本空间想象成一个边长为1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积．则如图所示的阴影部分的面积表示（）

A、事件A发生的概率 B、事件B发生的概率 C、事件B不发生条件下事件A发生的概率 D、事件A、B同时发生的概率

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二、多选题

9. 近年来，报考教师资格证的人数越来越多，教师行业逐渐升温．下图给出了近四年四所师范院校的录取分数排名，则（）

A、近四年北京师范大学录取分数排名变化最不明显 B、近四年湖南师范大学录取分数排名的平均值最大 C、近四年华南师范大学录取分数排名的极差值最大 D、近四年华中师范大学的生源质量呈现下降的趋势

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10. 设m，n是两条不同的直线， $α ， β$ 是两个不同的平面，下列说法正确的是（）

A、若 $m ⊥ α ， n ⊥ α$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $α ⊥ β ， m ∥ α$ ，则 $m ⊥ β$ C、若 $m ⊥ α ﹐ m ⊥ n$ ，则 $n ∥ α$ D、若 $n ⊥ α ， n ⊥ β$ ，则 $β ∥ α$

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11. 设抛物线 $C ： y^{2} = 8 x$ 的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点， $E (3 ， 1)$ 为定点，则下列结论正确的有（）

A、准线l的方程是 $y = - 2$ B、以线段MF为直径的圆与y轴相切 C、 $| M E | + | M F |$ 的最小值为5 D、 $| M E | - | M F |$ 的最大值为2

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12. 某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限 $r (r > 0)$ ，劳累程度 $T (0 < T < 1)$ ，劳动动机 $b (1 < b < 5)$ 相关，并建立了数学模型 $E = 10 - 10 T \cdot b^{- 0.14 r}$ ，已知甲、乙为该公司的员工，则下列结论正确的是（）

A、甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高 B、甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率低 C、甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱 D、甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强

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三、填空题

13. 在 ${(1 + x)}^{n}$ 的展开式中，若第三项和第七项的系数相等，则 $n =$ ．

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14. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < π)$ 的部分图像如图所示，则 $φ =$ ．

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15. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a = 2 c$ ，且 $s i n A ， s i n B ， s i n C$ 成等比数列，则 $c o s A =$ ．

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16. 如图所示，二面角 $α - l - β$ 的平面角的大小为 $6 0^{∘}$ ， $A ， B$ 是 $l$ 上的两个定点，且 $A B = 2 ， C \in α ， D \in β$ ，满足 $A B$ 与平面 $B C D$ 所成的角为 $3 0^{∘}$ ，且点 $A$ 在平面 $B C D$ 上的射影 $H$ 在 $△ B C D$ 的内部（包括边界），则点 $H$ 的轨迹的长度等于．

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四、解答题

17. 已知平面四边形ABCD中，AB $/ /$ DC， $∠ B A C = \frac{π}{4}$ ， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ， $A B = \sqrt{3} + 1$ ， $B D = \sqrt{7}$ .

(1)、求BC的长；

(2)、求△BCD的面积.

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18. 《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，入睡时间越晚，深度睡眠时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表：
组别
睡眠指数
早睡人群占比
晚睡人群占比
1
$[0 ， 51)$
0.1%
9.2%
2
$[51 ， 66)$
11.1%
47.4%
3
$[66 ， 76)$
34.6%
31.6%
4
$[76 ， 90)$
48.6%
11.8%
5
$[90 ， 100]$
5.6%
0.0%
注：早睡人群为23：00前入睡的人群，晚睡人群为01：00后入睡的人群．

(1)、根据表中数据，估计早睡人群睡眠指数25%分位数与晚睡人群睡眠指数25%分位数分别在第几组?

(2)、据统计，睡眠指数得分在区间 $[76 ， 90)$ 内的人群中，早睡人群约占80%．从睡眠指数得分在区间 $[76 ， 90)$ 内的人群中随机抽取3人，以X表示这3人中属于早睡人群的人数，求X的分布列与数学期望 $E (X)$ ．

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19. 如图，在斜三棱柱 $B C E - A D F$ 中，侧面 $A B C D ⊥$ 侧面 $A B E F ， A B = A D = A F = 2 ， ∠ A D C = ∠ A F E = 60 °$ ， M为 $C D$ 上的动点.

(1)、当M为 $C D$ 的中点时，证明： $E M ⊥ B F$ ；

(2)、求 $E M$ 与平面 $B C E$ 所成角的正弦值的取值范围.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的奇数项是公差为 $d_{1}$ 的等差数列偶数项是公差为 $d_{2}$ 的等差数列， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和， $a_{1} = 1 ， a_{2} = 2$ ．

(1)、若 $S_{4} = 11 ， a_{10} = 2 a_{7}$ ，求 $a_{12}$ ；

(2)、已知 $S_{15} = 15 a_{8}$ ，且对任意 $n \in N^{*} ， a_{n} < a_{n + 1}$ 恒成立，求数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 过点 $D (1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ 离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ， P，Q是椭圆C上位于x轴上方的两点．

(1)、若 $P F_{1} ∥ Q F_{2} ， | P F_{1} | + | Q F_{2} | = 2$ ，求直线 $Q F_{2}$ 的方程；

(2)、延长 $P F_{1} ， P F_{2}$ 分别交椭圆C于点M，N，设 $\vec{M F_{1}} = λ \vec{F_{1} P} ， \vec{N F_{2}} = n \vec{F_{2} P}$ ，求 $λ n$ 的最小值．

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22. 已知函数 $f (x) = (x - 2) e^{x} - a x + a l n x (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a < e$ 时，讨论 $f (x)$ 的零点个数．

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组别	睡眠指数	早睡人群占比	晚睡人群占比
1	$[0 ， 51)$	0.1%	9.2%
2	$[51 ， 66)$	11.1%	47.4%
3	$[66 ， 76)$	34.6%	31.6%
4	$[76 ， 90)$	48.6%	11.8%
5	$[90 ， 100]$	5.6%	0.0%