山东省聊城市2022届高三数学5月三模试卷

试卷更新日期：2022-06-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若复数z满足 $z + 3 i = \bar{z}$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{3}{2} i$ D、 $- \frac{3}{2} i$

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2. 设集合 $M = {x | 1 \leq x < 3}$ ， $N = {x | l o g_{2} (x - 1) < 1}$ ，则（）

A、 $N$ ⫋ $M$ B、 $M$ ⫋ $N$ C、 $M ∩ N = M$ D、 $M ∪ N = N$

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3. 抛物线 $y = 2 x^{2}$ 的准线方程是（）

A、 $x = - \frac{1}{2}$ B、 $x = - \frac{1}{8}$ C、 $y = - \frac{1}{8}$ D、 $y = - \frac{1}{2}$

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4. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为 $4 \sqrt{2} π$ ，圆锥的底面圆周和顶点都在同一球面上，则该球的体积为（）

A、 $\frac{8}{3} π$ B、 $\frac{32}{3} π$ C、16π D、32π

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5. ${(x + 2 y)}^{5} (x - 3 y)$ 的展开式中 $x^{3} y^{3}$ 项的系数为（）

A、-120 B、-40 C、80 D、200

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6. 已知 $s i n (α + \frac{π}{3}) = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，则 $s i n (2 α + \frac{π}{6})$ 的值为（）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $- \frac{7}{9}$ C、 $\frac{4 \sqrt{2}}{9}$ D、 $- \frac{4 \sqrt{2}}{9}$

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7. 已知函数 $f (x) = e^{| x |} (x \neq 0)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ .若 $a > b$ ，且 $a b \neq 0$ ，则（）

A、 $f (a) > f (b)$ B、 $f (a) < f (b)$ C、 $f^{'} (- a) + f^{'} (b) > 0$ D、 $f^{'} (a) + f^{'} (- b) > 0$

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8. 2021年4月12日，四川省三星堆遗址考古发据3号坑出土一件完整的圆口方尊，这是经科学考古发据出土的首件完整圆口方尊（图1）.北京冬奥会火种台“承天载物”的设计理念正是来源于此，它的基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开翩，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种，一种圆口方尊的上部（图2）外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴所在的直线旋转形成的曲面，该曲面的高为50cm，上口直径为 $\frac{100}{3}$ cm，下口直径为25cm，最小横截面的直径为20cm，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{7}{4}$ B、2 C、 $\frac{7}{3}$ D、 $\frac{13}{5}$

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二、多选题

9. 新冠肺炎疫情防控中，测量体温是最简便、最快捷，也是筛查成本比较低、性价比很高的筛查方式，是更适用于大众的普通筛查手段.某班级体温检测员对某一周内甲、乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（）

A、甲同学的体温的极差为0.5℃ B、甲同学的体温的众数为36.3℃ C、乙同学的体温的中位数与平均数不相等 D、乙同学的体温比甲同学的体温稳定

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10. 已知实数m，n满足 $0 < n < m < 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\frac{n}{m} < \frac{n + 1}{m + 1}$ B、 $m + \frac{1}{m} > n + \frac{1}{n}$ C、 $m^{n} > n^{m}$ D、 $l o g_{m} n < l o g_{n} m$

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11. 在平面四边形 $A B C D$ 中， $| \vec{A B} | = | \vec{B C} | = | \vec{C D} | = \vec{D A} \cdot \vec{D C} = 1$ ， $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $| \vec{A C} | = 1$ B、 $| \vec{C A} + \vec{C D} | = | \vec{C A} - \vec{C D} |$ C、 $\vec{A D} = \sqrt{2} \vec{B C}$ D、 $\vec{B D} \cdot \vec{C D} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}$

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12. 在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，所有棱长均2， $∠ B A D = 60 °$ ， P为 $C C_{1}$ 的中点，点Q在四边形 $D C C_{1} D_{1}$ 内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（）

A、当点Q在线段 $C D_{1}$ 上运动时，四面体 $A_{1} B P Q$ 的体积为定值 B、若 $A Q / /$ 平面 $A_{1} B P$ ，则AQ的最小值为 $\sqrt{5}$ C、若 $△ A_{1} B Q$ 的外心为M，则 $\vec{A_{1} B} \cdot \vec{A_{1} M}$ 为定值2 D、若 $A_{1} Q = \sqrt{7}$ ，则点Q的轨迹长度为 $\frac{2 π}{3}$

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三、填空题

13. 已知随机变量 $ξ ~ N (μ ， σ^{2})$ ， $P (ξ \leq 4) = \frac{1}{2}$ ， $P (ξ > 3) = \frac{5}{6}$ ， $P (3 < ξ \leq 5) =$ .

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14. 命题“ $\exists x \in R$ ， $(a^{2} - 4) x^{2} + (a + 2) x - 1 \geq 0$ ”为假命题，则实数 $a$ 的取值范围为.

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15. 某牧场2022年年初牛的存栏数为1200，计划以后每年存栏数的增长率为20%，且在每年年底卖出100头牛，按照该计划预计年初的存栏量首次超过8900头.（参考数据： $l g 2 \approx 0.3010$ ， $l g 3 \approx 0.4771$ ）

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16. 已知函数 $f (x) = a^{x} + x^{2} - x l n a$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），若对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2}$ $\in [1 ， 2]$ ，不等式 $f (x_{1}) - f (x_{2}) \leq a^{2} - a + 1$ 恒成立，则实数a的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $b s i n C = c c o s (B - \frac{π}{6})$ .

(1)、求角B；

(2)、若b=4，求 $△ A B C$ 周长的最大值.

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18. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} = 2 a_{n} - 2$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = {\begin{array}{l} \sqrt{\frac{a_{n}}{2}} ， n = 2 k + 1 ， k \in N \\ \frac{2}{\sqrt{l o g_{2} a_{n}} + \sqrt{l o g_{2} a_{n + 2}}} ， n = 2 k ， k \in N^{*} \end{array}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前15项的和.

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19. 为迎接2022年北京冬奥会，践行“更快更高更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略.某校高二年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.
附：经验回归方程： $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；
参考数据： $\sum_{i = 1}^{6} z_{i} = 23.52$ ， $\sum_{i = 1}^{6} x_{i} z_{i} = 77.72$ ， $\sum_{i = 1}^{6} x_{i}^{2} = 91$ ， $l n 10 \approx 2.30$ .

(1)、为了解活动效果，该年级对开展活动以来近6个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如上图，根据上面的散点图可以认为散点集中在曲线 $y = e^{b x + a}$ 的附近，请根据下表中的数据求出该年级体重超重人数 $y$ 与月份 $x$ 之间的经验回归方程（系数 $a$ 和 $b$ 的最终结果精确到0.01），并预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至10人以下？
月份 $x$
1
2
3
4
5
6
体重超标人数 $y$
98
77
54
48
32
27
$z = l n y$
4.58
4.37
3.98
3.87
3.46
3.29

(2)、在某次足球训练课上，球首先由 $A$ 队员控制，此后足球仅在 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三名队员之间传递，假设每名队员控球时传给其他队员的概率如下表所示：
控球队员
$A$
$B$
$C$
接球队员
$B$
$C$
$A$
$C$
$A$
$B$
概率
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{2}{3}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{2}{3}$
$\frac{1}{3}$
若传球3次，记 $B$ 队员控球次数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及均值.

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20. 已知四边形ABCD为平行四边形，E为CD的中点，AB=4， $△ A D E$ 为等边三角形，将三角形ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置，且平面 $A P E ⊥$ 平面ABCE.

(1)、求证： $A P ⊥ B E$ ；

(2)、试判断在线段PB上是否存在点F，使得平面AEF与平面AEP的夹角为45°.若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由.

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21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，左顶点为 $A_{1}$ ，左焦点为 $F_{1}$ ，上顶点为 $B_{1}$ ，下顶点为 $B_{2}$ ， M为C上一动点， $△ M A_{1} F_{1}$ 面积的最大值为 $\sqrt{2} - 1$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过 $P (0 ， 2)$ 的直线l交椭圆C于D，E两点（异于点 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ），直线 $B_{1} E$ ， $B_{2} D$ 相交于点Q，证明：点Q在一条平行于x轴的直线上.

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22. 已知函数 $f (x) = a l n x - b x$ ， $g (x) = x e^{x} - (m + 1) x - 1$ $(a ， b ， m \in R)$ .

(1)、当b=1时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $x = \frac{1}{e}$ 处的切线方程为 $y = (e - 1) x - 2$ ，且不等式 $f (x) \leq g (x)$ 恒成立，求实数m的取值范围.

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月份 $x$	1	2	3	4	5	6
体重超标人数 $y$	98	77	54	48	32	27
$z = l n y$	4.58	4.37	3.98	3.87	3.46	3.29

控球队员	$A$		$B$		$C$
接球队员	$B$	$C$	$A$	$C$	$A$	$B$
概率	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{3}$