山东省济宁市2022届高三数学模拟考试（三模）试卷

试卷更新日期：2022-06-21 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 \leq x < 2}$ ， $B = {x | l n x \geq 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $[- 2 ， 2)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $[1 ， 2)$ D、 $[1 ， 2]$

查看试题解析
2. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、1 B、-1 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

查看试题解析
3. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线与直线 $2 x - y + 1 = 0$ 垂直，则该双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

查看试题解析
4. 随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有3个完全相同的“冰墩墩”，甲、乙、丙、丁4位运动员要与这3个“冰墩墩”站成一排拍照留念，则有且只有2个“冰墩墩”相邻的排队方法数为（）

A、240 B、480 C、1440 D、2880

查看试题解析
5. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + 2 x + c (x \in R)$ 的值域为 $[1 ， + \infty)$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{4}{c}$ 的最小值为（）

A、-3 B、3 C、-4 D、4

查看试题解析
6. 已知 $c o s (α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{4}$ ，则 $s i n (2 α + \frac{5 π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{8}$ B、 $- \frac{\sqrt{15}}{8}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、 $- \frac{7}{8}$

查看试题解析
7. 若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（）

A、 $2 ： 1$ B、 $3 ： 2$ C、 $7 ： 3$ D、 $7 ： 4$

查看试题解析
8. 若函数 $f (x + 2)$ 为偶函数，对任意的 $x_{1} ， x_{2} ∈ [2 ， + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] < 0$ ，则（）

A、 $f (l o g_{2} 6) < f (\frac{3}{2}) < f (l o g_{3} 12)$ B、 $f (l o g_{3} 12) < f (\frac{3}{2}) < f (l o g_{2} 6)$ C、 $f (\frac{3}{2}) > f (l o g_{2} 6) > f (l o g_{3} 12)$ D、 $f (l o g_{3} 12) > f (l o g_{2} 6) > f (\frac{3}{2})$

查看试题解析

二、多选题

9. 在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试.为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为 $n$ .按照 $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ 的分组作出频率分布直方图如图所示.其中，成绩落在区间 $[50 ， 60)$ 内的人数为 $16$ .则下列结论正确的是（）

A、样本容量 $n = 1000$ B、图中 $x = 0.030$ C、估计该市全体学生成绩的平均分为70.6分 D、该市要对成绩由高到低前20%的学生授予“优秀学生”称号，则成绩为78分的学生肯定能得到此称号

查看试题解析
10. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ)$ $(ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象可由 $y = s i n 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位得到 B、直线 $x = - \frac{11 π}{12}$ 是 $f (x)$ 图象的一条对称轴 C、若 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | = 2$ ，则 $| x_{2} - x_{1} |$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$ D、直线 $y = \frac{1}{2}$ 与函数 $y = f (x)$ 在 $[0 ， \frac{10 π}{3}]$ 上的图象有7个交点

查看试题解析
11. 已知直线 $y = \sqrt{3} x + b$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 16$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $∠ A O B$ 为锐角（其中 $O$ 为坐标原点），则实数 $b$ 的取值可以是（）

A、5 B、6 C、7 D、8

查看试题解析
12. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $2 a_{n} S_{n} = 1 + a_{n}^{2}$ ， $b_{n} = l o g_{2} \frac{S_{n + 2}}{S_{n}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 ${S_{n}^{2}}$ 是等差数列 B、 $a_{n} < a_{n + 1}$ C、 $S_{n} \leq e^{\sqrt{n} - 1}$ D、满足 $T_{n} \geq 3$ 的 $n$ 的最小正整数解为10

查看试题解析

三、填空题

13. 设随机变量 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ，若 $P (X < 0) = P (X > 2)$ ，则 $P (X \leq 1) =$ .

查看试题解析
14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} ， x \leq 0 \\ f (x - 5) ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f (2022) =$ .

查看试题解析
15. 在边长为 $4$ 的等边 $△ A B C$ 中，已知 $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ ，点 $P$ 在线段 $C D$ 上，且 $\vec{A P} = m \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A B}$ ，则 $| \vec{A P} | =$ .

查看试题解析
16. 已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线交于 $A ， B$ 两点，且 $| A F | = 3 | B F | = 3$ ，则 $p =$ ；设点 $M$ 是抛物线 $C$ 上的任意一点，点 $N$ 是 $C$ 的对称轴与准线的交点，则 $\frac{| M N |}{| M F |}$ 的最大值为.

查看试题解析

四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = s i n x c o s (x - \frac{π}{3})$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、在锐角 $△ A B C$ 中，若 $f (A) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $A C = \sqrt{2}$ ， $B C = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

查看试题解析
18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{3} = 1$ ， $S_{6} = 7$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} + b_{2} + ⋯ + b_{n} = 2^{n + 1} - 2$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $c_{n} = b_{n} \cdot t a n (a_{n} π)$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $3 n$ 项和.

查看试题解析
19. 如图1，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $A D = \sqrt{3}$ ， $∠ B A D = 3 0^{∘}$ ，以对角线 $B D$ 为折痕把 $△ A B D$ 折起，使点 $A$ 到达图2所示点 $P$ 的位置，且 $P C = \sqrt{7}$ .

(1)、求证： $P D ⊥ B C$ ；

(2)、若点 $E$ 在线段 $P C$ 上，且二面角 $E - B D - C$ 的大小为 $4 5^{∘}$ ，求三棱锥 $E - B C D$ 的体积.

查看试题解析
20. 某娱乐节目闯关游戏共有三关，游戏规则如下：选手依次参加第一、二、三关，每关闯关成功可获得的奖金分别为600元、900元、1500元，奖金可累加；若某关闯关成功，选手可以选择结束闯关游戏并获得相应奖金，也可以选择继续闯关；若有任何一关闯关失败，则连同前面所得奖金全部归零，闯关游戏结束，选手小李参加该闯关游戏，已知他第一、二、三关闯关成功的概率分别为 $\frac{3}{4}$ ， $\frac{2}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ，第一关闯关成功选择继续闯关的概率为 $\frac{3}{5}$ ，第二关闯关成功选择继续闯关的概率为 $\frac{2}{5}$ ，且每关闯关成功与否互不影响.

(1)、求小李第一关闯关成功，但所得总奖金为零的概率；

(2)、设小李所得总奖金为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列及其数学期望.

查看试题解析
21. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A$ 、 $B$ ，点 $F$ 是椭圆 $E$ 的右焦点，点 $Q$ 在椭圆 $E$ 上，且 $| Q F |$ 的最大值为 $3$ ，椭圆 $E$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、若过点 $A$ 的直线与椭圆 $E$ 交于另一点 $P$ （异于点 $B$ ），与直线 $x = 2$ 交于一点 $M$ ， $∠ P F B$ 的角平分线与直线 $x = 2$ 交于点 $N$ ，求证：点 $N$ 是线段 $B M$ 的中点.

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = x - a l n^{2} x - (e - a - 1) l n x - 1$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，证明： $f (x) \geq (e - 2) (1 - x)$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(1 ， e)$ 内有零点，求实数 $a$ 的取值范围.

查看试题解析