山东省德州市2022届高三数学三模试卷

试卷更新日期：2022-06-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集为 $R$ ，设集合 $A = {x ∣ x ⩽ 3}$ ， $B = {x ∣ y = l n (2 - x)}$ ，则 $A ∩ (∁_{R} B) =$ （）

A、 $(2 ， 3)$ B、 $(2 ， 3]$ C、 $[2 ， 3)$ D、 $[2 ， 3]$

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2. $a = - 2$ 是直线 $a x + 2 y + 3 a = 0$ 和 $5 x + (a - 3) y + a - 7 = 0$ 平行的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知圆锥的底面直径为 $\sqrt{2}$ ，母线长为 $2 \sqrt{2}$ ，则其侧面展开图扇形的圆心角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $π$

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4. 古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 $k (k > 0 ， k \neq 1)$ 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (- 4 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ ，点 $M$ 满足 $\frac{| M A |}{| M B |} = 2$ ，则点 $M$ 的轨迹方程为（）

A、 $(x + 4)^{2} + y^{2} = 16$ B、 $(x - 4)^{2} + y^{2} = 16$ C、 $x^{2} + (y + 4)^{2} = 16$ D、 $x^{2} + (y - 4)^{2} = 16$

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5. 已知对数函数 $f (x)$ 的图像经过点 $A (\frac{1}{8} ， - 3)$ 与点 $B (16 ， t)$ ， $a = l o g_{0.1} t$ ， $b = 0 . 2^{t}$ ， $c = t^{0.1}$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $b < a < c$ C、 $a < b < c$ D、 $c < b < a$

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6. $(\frac{1}{x} - 2 y) (2 x - y)^{5}$ 的展开式中 $x^{2} y^{4}$ 的系数为（）

A、80 B、24 C、-12 D、-48

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7. 已知平面向量 $\vec{a} = (2 ， 0)$ ， $\vec{b} = (0 ， 1)$ ，且非零向量 $\vec{c}$ 满足 $(\vec{a} - 2 \vec{c}) ⊥ (\vec{b} - \vec{c})$ ，则 $| \vec{c} |$ 的最大值是（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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8. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，对于任意 $x_{1} \neq x_{2}$ ，必有 $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ ，若函数 $F (x) = f (x^{2} - m) + f (3 - 2 x)$ 只有一个零点，则函数 $g (x) = \frac{m x^{2} - 6}{2 - x} (x < 2)$ 有（）

A、最小值为-4 B、最大值为-4 C、最小值为4 D、最大值为4

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二、多选题

9. 已知复数 $z = \frac{5 i}{1 + 2 i}$ ，则下列各项正确的为（）

A、复数 $z$ 的虚部为 $i$ B、复数 $z - 2$ 为纯虚数 C、复数 $z$ 的共轭复数对应点在第四象限 D、复数 $z$ 的模为5

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10. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 图像的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为 $\frac{3 π}{4}$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $3 π$ B、将函数 $f (x)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后所得图像关于原点对称 C、函数 $f (x)$ 在 $[π ， \frac{5}{2} π]$ 上为增函数 D、设 $g (x) = e^{| x |} f (\frac{3}{2} x + \frac{π}{4})$ ，则 $g (x)$ 在 $(- 10 π ， 10 π)$ 内有20个极值点

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11. 已知线段BC的长度为4，线段AB的长度为 $m$ ，点D，G满足 $\vec{A D} = \vec{D C}$ ， $\vec{D G} \cdot \vec{A C} = 0$ ，且 $G$ 点在直线AB上，若以BC所在直线为 $x$ 轴，BC的中垂线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系，则（）

A、当 $m = 4$ 时，点 $G$ 的轨迹为圆 B、当 $6 \leq m \leq 8$ 时，点 $G$ 的轨迹为椭圆，且椭圆的离心率取值范围为 $[\frac{1}{2} ， \frac{2}{3}]$ C、当 $m = 2$ 时，点 $G$ 的轨迹为双曲线，且该双曲线的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ D、当 $m = 5$ 时， $△ B C G$ 面积的最大值为3

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12. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = A C = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ， P为线段 $B B_{1}$ 上的动点，且 $\vec{B_{1} P} = λ \vec{B_{1} B}$ ，则（）

A、存在 $λ$ ，使得 $A_{1} P ⊥ B C$ B、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，三棱锥 $P - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的外接球表面积为 $\frac{7 π}{3}$ C、当 $λ = \frac{1}{4}$ 时，异面直线 $A_{1} P$ 和 $C_{1} B$ 所成角的余弦值为 $\frac{5 \sqrt{39}}{39}$ D、过 $P$ 且与直线AB和直线 $B_{1} C_{1}$ 所成角都是 $6 0^{°}$ 的直线有三条

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三、填空题

13. 已知 $α \in (π ， \frac{3 π}{2})$ ， $t a n (α - \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$ ，则 $c o s α =$ ．

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14. 设 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1} = 2$ ， $S_{7} = 35$ ，则 $a_{6} =$ .

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15. 已知某种袋装食品每袋质量 $X ~ N (500 ， 16)$ ，则随机抽取10000袋这种食品，袋装质量在区间 $(492 ， 504]$ 的约袋（质量单位： $g$ ）.（附： $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < X ⩽ μ + 3 σ) = 0.9973$ ）.

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16. 若 $\exists x \in [0 ， 2]$ ，使不等式 $(e - 1) l n a \geq a e^{1 - x} + e (x - 1) - x$ 成立，其中 $e$ 为自然对数的底数，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = 2$ ， $A C = \sqrt{2}$ ， $A = \frac{π}{4}$ ，点M､N是边AB上的两点， $∠ M C N = \frac{π}{6}$ .

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、当 $B N = \sqrt{3}$ ，求MN的长.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 3$ ， $S_{n} - n = \frac{1}{2} (a_{n} + 1) (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ 和前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、设 $b_{k} = \frac{1}{(S_{2 k} + 1) \cdot S_{2 k + 1}} (k \in N^{*})$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和记为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < \frac{1}{6} (n \in N^{*})$ .

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19. 某学校对男女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男女生人数均为 $10 n (n \in N^{*})$ ，统计得到以下2×2列联表，经过计算可得 $K^{2} \approx 4.040$ .

男生
女生
合计
喜欢
$6 n$
不喜欢
$5 n$
合计
$10 n$
$10 n$
附表：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .

(1)、完成表格求出n值，并判断有多大的把握认为该校学生对长跑的喜欢情况与性别有关；

(2)、①为弄清学生不喜欢长跑的原因，采用分层抽样的方法从调查的不喜欢长跑的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，求“至少抽到一名女生”的概率；
②将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对长跑喜欢的人数为X，求X的数学期望.

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20. 已知底面ABCD为菱形的直四棱柱，被平面AEFG所截几何体如图所示.

(1)、若 $C E ⊥ B G$ ，求证： $F G ⊥ B G$ ；

(2)、若 $A B = 2$ ， $∠ D A B = 6 0^{°}$ ，三棱锥GACD的体积为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，直线AF与底面ABCD所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求锐二面角 $A - E C - B$ 的余弦值.

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21. 已知F为抛物线 $T ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点，点P在抛物线T上，O为坐标原点， $△ O P F$ 的外接圆与抛物线T的准线相切，且该圆周长为 $3 π$ .

(1)、求抛物线 $T$ 的方程；

(2)、如图，设点A，B，C都在抛物线T上，若 $△ A B C$ 是以AC为斜边的等腰直角三角形，求 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的最小值.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{a l n x}{x + 1}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线与直线 $2 x + y = 0$ 垂直.

(1)、设 $g (x) = \frac{x}{(x + 1) f (x)}$ ，求 $g (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $x > 0$ ，且 $x \neq 1$ 时， $f (x) > \frac{l n x}{x - 1} + \frac{k - 1}{x}$ ，求实数 $k$ 的取值范围.

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	男生	女生	合计
喜欢	$6 n$
不喜欢		$5 n$
合计	$10 n$	$10 n$

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828