山东省百师联盟2022届高三下学期数学5月模拟试卷

试卷更新日期：2022-06-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | 0 < x < 3} ， N = {x | y = l n (x^{2} - x)}$ ，则 $M ∩ (∁_{R} N) =$ （）

A、 ${x | 0 < x < 1}$ B、 ${x | 0 < x \leq 1}$ C、 ${x | x > 0}$ D、 ${x | 1 < x < 3}$

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2. 已知复数z满足 $l$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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3. 若 $c o s (α - \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ， $s i n 2 α =$ （）

A、 $- \frac{24}{25}$ B、 $- \frac{7}{25}$ C、 $\frac{24}{25}$ D、 $\frac{7}{25}$

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4. 函数 $f (x) = \frac{(e^{x} - e^{- x}) \cdot l n | x |}{2}$ 在 $[- 2 ， 0) ∪ (0 ， 2]$ 上的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知O为坐标原点，抛物线 $x = \frac{1}{4} y^{2}$ 的焦点为F，点M在抛物线上，且 $| M F | = 3$ ，则M点到 $x$ 轴的距离为（）

A、2 B、 $\frac{47}{16}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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6. 魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．一个数学学习兴趣小组研究发现，书中提供的测量方法甚是巧妙，可以回避现代测量器械的应用．现该兴趣小组沿用古法测量一山体高度，如图点E、H、G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，记为 $h$ ， EG为测量标杆问的距离，记为 $d$ ， GC、EH分别记为 $a ， b$ ，则该山体的高AB=（）

A、 $\frac{h d}{a - b} + h$ B、 $\frac{h d}{a - b} - h$ C、 $\frac{h d}{a - b} + d$ D、 $\frac{h d}{a - b} - d$

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7. 已知 $2^{x} = 3^{y} = 6$ ，则下列不等关系正确的有（）

A、 $\frac{x}{y} > 2$ B、 $x y < 4$ C、 $x + y < 4$ D、 $\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} > \frac{1}{2}$

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8. 已知函数 $f (x) = | x + 2 | + e^{x + 2} + e^{- 2 - x} + a$ 有唯一零点，则实数 $a =$ （）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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二、多选题

9. 某校为了落实“双减”政策，决定调查学生作业量完成情况．现随机抽取200名学生进行完成率统计，发现抽取的学生作业完成比率均在50%至100%之间，进行适当地分组后 $([50 ， 60) ， [60 ， 70) ， [70 ， 80) ， [80 ， 90) ， [90 ， 100])$ ，画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（）

A、直方图中 $x$ 的值为0.015 B、在被抽取的学生中，作业完成比率在区间 $[90 ， 100]$ 内的学生有75人 C、估计全校学生作业完成比率的中位数约为86.67% D、若各组数据用所在区间中点值代替，估计全校学生作业完成比率的平均^84%

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10. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作垂直于渐近线的直线 $l$ 交两渐近线于A，B两点，若 $3 | F_{2} A | = | F_{2} B |$ ，则双曲线C的离心率可能为（）

A、 $\frac{\sqrt{141}}{11}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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11. 已知函数 $f (x) = s i n | x | - | c o s x |$ ，下列关于此函数的论述正确的是（）

A、 $2 π$ 为函数 $f (x)$ 的一个周期 B、函数 $f (x)$ 的值域为 $[- \sqrt{2} ， \sqrt{2}]$ C、函数 $f (x)$ 在 $[\frac{3 π}{4} ， \frac{5 π}{4}]$ 上单调递减 D、函数 $f (x)$ 在 $[- 2 π ， 2 π]$ 内有4个零点

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12. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为2，P为空间中一点．下列论述正确的是（）

A、若 $\vec{A P} = \frac{1}{2} \vec{A D_{1}}$ ，则异面直线BP与 $C_{1} D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、若 $\vec{B P} = λ \vec{B C} + \vec{B B_{1}} (λ \in [0 ， 1])$ ，三棱锥 $P - A_{1} B C$ 的体积为定值 C、若 $\vec{B P} = λ \vec{B C} + \frac{1}{2} \vec{B B_{1}} (λ \in [0 ， 1])$ ，有且仅有一个点P，使得 $A_{1} C ⊥$ 平面 $A B_{1} P$ D、若 $\vec{A P} = λ \vec{A D_{1}} (λ \in [0 ， 1])$ ，则异面直线BP和 $C_{1} D$ 所成角取值范围是 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$

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三、填空题

13. 写出一个满足“图象既关于直线x=1对称又关于原点中心对称”的函数 $f (x) =$ ．

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14. 若二项式 ${(2 x - \frac{a}{\sqrt{x}})}^{6}$ 展开式的常数项为60，则实数 $a$ 的值为．

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15. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{a} ， g (x) = x^{2}$ ，若存在一条直线同时与两个函数图象相切，则实数a的取值范围．

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16. 有一种投掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第10站，共10站，设棋子跳到第n站的概率为 $P_{n}$ ，若一枚棋子开始在第1站，棋手每次投掷骰子一次，棋子向前跳动一次．若骰子点数小于等于3，棋子向前跳一站；否则，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第9站（失败）或者第10站（获胜）时，游戏结束．则 $P_{3} =$ ；该棋手获胜的概率为．

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四、解答题

17. 如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为 $a ， b ， c$ ， △ABC的面积为S，且 $4 S = a^{2} + c^{2} - b^{2}$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $A = \frac{π}{2} ， D$ 为平面ABC上△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且有 $2 a_{1} + 2^{2} a_{2} + 2^{3} a_{3} + \cdot \cdot \cdot + 2^{n} a_{n} = n \cdot 2^{n}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}} ， T_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，证明： $T_{n} < 2$ ．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ ， $A P ⊥ P D$ ， $A D ⊥ P B$ ，且 $A D = P B = 2$ ，线段 $A D$ 的中点为 $O$ ．

(1)、求证： $P A = P D$ ；

(2)、求二面角 $D - P B - C$ 的余弦值．

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20. 某研究所为了研究某种昆虫的产卵数 $y$ 与温度 $x$ 之间的关系，现将收集到的温度 $x_{i}$ 和一组昆虫的产卵数 $y_{i} (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， 6)$ 的6组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计数据．
经计算得到以下数据： $\bar{x} = \frac{1}{6} \sum_{i = 1}^{6} x_{i} = 26 ， \bar{y} = \frac{1}{6} \sum_{i = 1}^{6} y_{i} = 33 ， \sum_{i = 1}^{6} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 557$ ， ${\sum_{i = 1}^{6} (x_{i} - \bar{x})}^{2} = 84 ， \sum_{i = 1}^{6} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 3930 ， {\sum_{i = 1}^{6} (y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2} = 236.64$ ．
附参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2}) ， … … ， (x_{n} ， y_{n})$ ，其回归直线 $\hat{y} = b x + \hat{a}$ 截距和斜率的最小二乘法估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{t = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} x$ ，相关系数： $R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}$ ．参考数据： $e^{8.0605} \approx 3167$ ．

(1)、若用线性回归模型来拟合数据的变化关系，求y关于x的回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ （结果精确到0.1）；

(2)、若用非线性回归模型来拟合数据的变化关系，求得 $y$ 关于 $x$ 的回归方程 $\hat{y} = 0.06 e^{0.2303 x}$ ，且相关指数为 $R^{2} = 0.9672$ ．
①试与（1）中的回归模型相比，用R²说明哪种模型的拟合效果更好；
②用拟合效果好的模型预测温度为35℃时该组昆虫的产卵数（结果四舍五入取整数）．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，上顶点为 $A$ ，直线 $F A$ 的斜率为 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，且原点 $O$ 到直线 $F A$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程，

(2)、设椭圆 $C$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ ，过点 $D (4 ， 0)$ 的动直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $P$ 、 $Q$ 两点，直线 $A_{1} P$ 、 $A_{2} Q$ 相交于点 $E$ ，证明：点 $E$ 在定直线上．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} + (1 - a) x - l n x (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若方程 $f (x) = 0$ 有两个不等实数根，求实数 $a$ 的取值范围．

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