江苏省无锡市江阴市2022届高三下学期数学最后一卷

试卷更新日期：2022-06-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ， $B = {x | l g x > 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 1 ， 3]$ B、 $(- \infty ， 3]$ C、 $(1 ， 3]$ D、 $[1 ， + \infty)$

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2. 已知复数z满足 $(\bar{z} - i) i = 4 + 3 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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3. 若 $c o s^{2} (\frac{π}{4} + α) = \frac{1}{3}$ ，则 $s i n 2 α$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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4. 八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹以白彩绘成，黑线勾边，中为方形或圆形，具有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹星纹．图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形为等腰直角三角形，中间阴影部分是正方形且边长为2，其中动点P在圆 $O$ 上，定点A、B所在位置如图所示，则 $\vec{A B} \cdot \vec{O P}$ 最大值为（）

A、9 B、10 C、 $10 \sqrt{2}$ D、 $10 \sqrt{3}$

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5. 函数 $f (x) = \frac{3^{x} - 3^{- x}}{x^{2}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 二项式 ${(1 + 2 x)}^{2} + {(1 + 2 x)}^{3} + ⋯ + {(1 + 2 x)}^{7}$ 的展开式中，含 $x^{2}$ 项的二项式系数为（）

A、84 B、56 C、35 D、21

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7. 设 $F_{1} ， F_{2}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左，右焦点，过 $F_{1}$ 的直接l交椭圆于A，B两点，则 $| A F_{2} | + | B F_{2} |$ 的最大值为（）

A、14 B、13 C、12 D、10

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8. 已知 $a = l n \sqrt[3]{3} ， b = e^{- 1} ， c = (9 - 3 l n 3) e^{- 3}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小为（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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二、多选题

9. 关于曲线 $C$ ： $x^{2} + y^{2} = 2 | x | + 2 | y |$ ，下列说法正确的是（）

A、曲线 $C$ 围成图形的面积为 $4 π + 8$ B、曲线 $C$ 所表示的图形有且仅有 $2$ 条对称轴 C、曲线 $C$ 所表示的图形是中心对称图形 D、曲线 $C$ 是以 $(1 ， 1)$ 为圆心， $2$ 为半径的圆

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10. 老杨每天17：00下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有 $A ， B$ 两条线路可以选择．乘坐线路 $A$ 所需时间（单位：分钟）服从正态分布 $N (44 ， 4)$ ，下车后步行到家要5分钟；乘坐线路 $B$ 所需时间（单位：分钟）服从正态分布 $N (33 ， 16)$ ，下车后步行到家要12分钟．下列说法从统计角度认为合理的是（）
已知 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ 时，有 $P (| X - μ | \leq σ) \approx 0.6827$ ， $P (| X - μ | \leq 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (| X - μ | \leq 3 σ) \approx 0.9973$ ．

A、若乘坐线路 $B$ ， 18：00前一定能到家 B、乘坐线路 $A$ 和乘坐线路 $B$ 在17：58前到家的可能性一样 C、乘坐线路 $B$ 比乘坐线路 $A$ 在17：54前到家的可能性更大 D、若乘坐线路 $A$ ，则在17：48前到家的可能性超过1%

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11. 关于函数 $f (x) = c o s | x | + | c o s x |$ 的下列结论正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 是偶函数 B、函数 $y = f (x)$ 的周期是 $π$ C、函数 $y = f (x)$ 的最大值为 $2$ D、函数 $y = f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上有无数个零点

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12. 定义：在区间 $I$ 上，若函数 $y = f (x)$ 是减函数，且 $y = x f (x)$ 是增函数，则称 $y = f (x)$ 在区间 $I$ 上是“弱减函数”.根据定义可得（）

A、 $f (x) = \frac{1}{x}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上是“弱减函数” B、 $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ 在 $(1 ， 2)$ 上是“弱减函数” C、若 $f (x) = \frac{l n x}{x}$ 在 $(m ， + \infty)$ 上是“弱减函数”，则 $m \geq e$ D、若 $f (x) = c o s x + k x^{2}$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上是“弱减函数”，则 $\frac{2}{3 π} \leq k \leq \frac{1}{π}$

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三、填空题

13. 已知随机事件M，N， $P (M) = \frac{1}{2} ， P (N) = \frac{1}{3} ，$ $P (M | N) = \frac{3}{4}$ ，则 $P (N | M)$ 的值为．

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14. 已知点 $P (2 ， 4)$ 在抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ 上，过其焦点F且倾斜角为 $45 °$ 的直线l与C交于M，N两点，则 $△ P M N$ 的面积为.

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15. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，已知甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，则这5个人的名次排列情况共有种．

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16. “刺绣”是一门传统手工艺术，我国已有多种刺绣列入世界非遗文化遗产名录．有一种刺绣的图案由一笔画构成，很像汉字“回”，称为“回纹图”（如图）．某刺绣工在方格形布料上用单线针法绣回纹图，共进行了 $n$ 次操作，每次操作在前一次基础上向外多绣一圈(前三次操作之后的图案分别如下图) ．若第 $k$ 次操作之后图案所占面积为 $S_{k}$ （即最外围不封口的矩形面积，如 $S_{1} = 2 ， S_{2} = 12 ， S_{3} = 30$ ），则至少操作次， $S_{k}$ 不少于 $90$ ；若每横向或纵向一个单位长度绣一针，称为“走一针”，如图①共走了 $5$ 针，如图②共走了 $19$ 针，如图③共走了 $41$ 针，则其第 $n$ 次操作之后的回纹图共走了针（用 $n$ 表示）．

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中， $c = 2 b c o s B$ ， $C = \frac{2 π}{3}$ ．

(1)、求 $∠ B$ ；

(2)、再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 $△ A B C$ 存在且唯一确定，求 $B C$ 边上中线的长．
条件①： $c = \sqrt{2} b$ ；
条件②： $△ A B C$ 的周长为 $4 + 2 \sqrt{3}$ ；
条件③： $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ；

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18. 某地区2014至2020年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）如下表：

年份

2014

2015

2016

2017

2018

2019

2020

年份代号 $x$

生活垃圾

无害化处理量 $y$

2.9

3.3

3.6

4.4

4.8

5.2

5.9

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

(1)、求

y

关于

x

的线性回归方程；

(2)、根据（1）中的回归方程，分析过去七年该地区生活垃圾无害化处理的变化情况，并预测该地区2022年生活垃圾无害化处理量．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{n} = {\begin{array}{l} a_{n + 1} - (n + 1) ， n 为奇数 \\ \frac{n^{2}}{2} ， n 为偶数 \end{array}$ $(n \in N^{*})$

(1)、求 $a_{1}$ 、 $a_{3}$ 、 $a_{5}$ ；

(2)、将数列 ${a_{n}}$ 中下标为奇数的项依次取出，构成新数列 ${b_{m}}$ $(m \in N^{*})$ ，
①证明： ${\frac{b_{m}}{m}}$ 是等差数列；
②设数列 ${\frac{1}{b_{m + 1}}}$ 的前m项和为 $S_{m}$ ，求证： $S_{m} < \frac{1}{2}$ ．

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20. 某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1， $E 、 F 、 G$ 分别是正方形的三边 $A B 、 C D 、 A D$ 的中点，先沿着虚线段 $F G$ 将等腰直角三角形 $F D G$ 裁掉，再将剩下的五边形 $A B C F G$ 沿着线段 $E F$ 折起，连接 $A B 、 C G$ 就得到了一个“刍甍”(如图2)．

(1)、若 $O$ 是四边形 $E B C F$ 对角线的交点，求证： $A O$ ∥平面 $G C F$

(2)、若二面角 $A - E F - B$ 的大小为 $\frac{2}{3} π$ ，求直线 $A B$ 与平面 $G C F$ 所成角的正弦值．

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21. 如图， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左右顶点， $B_{1}$ ， $B_{2}$ 是该双曲线上关于 $x$ 轴对称的两点，直线 $A_{1} B_{1}$ 与 $A_{2} B_{2}$ 的交点为 $E$ ．

(1)、求点 $E$ 的轨迹 $Γ$ 的方程；

(2)、设点 $Q (1 ， - 1)$ ，过点 $Q$ 两条直线分别与轨迹 $Γ$ 交于点 $A$ ， $C$ 和 $B$ ， $D$ ．若 $A B / / C D$ ，求直线 $A B$ 的斜率．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} (1 + m l n x)$ ，其中m＞0，f '(x)为f(x)的导函数，设 $h (x) = \frac{f^{^{'}} (x)}{e^{x}}$ ，且 $h (x) \geq \frac{5}{2}$ 恒成立．

(1)、求m的取值范围；

(2)、设函数f(x)的零点为x₀ ，函数f '(x)的极小值点为x₁ ，求证：x₀＞x₁ ．

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