吉林省吉林市普通高中2022届高三理数第四次调研试卷

试卷更新日期：2022-06-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x ＞ 2}$ ， $B = {x | x \in N}$ ，则 $(∁_{R} A) ∩ B =$ （）

A、 ${0 ， 1 ， 2}$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${1}$

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2. 设命题 $p ： \exists x_{0} \in R$ ， ${x_{0}}^{2} + 1 = 0$ ，则命题p的否定为（）

A、 $\forall x \notin R$ ， $x^{2} + 1 = 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 1 \neq 0$ C、 $\exists x_{0} \notin R$ ， ${x_{0}}^{2} + 1 = 0$ D、 $\exists x_{0} \in R$ ， ${x_{0}}^{2} + 1 \neq 0$

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3. 已知 $t \in R$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \sqrt{x} - 2 ， x > 2 \\ | x - 3 | + t ， x \leq 2 \end{array}$ ，若 $f (f (9)) = 4$ ，则 $t =$ （）

A、0 B、2 C、5 D、6

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4. 如图所示的程序框图，若输入 $n = 4$ ，则输出S的值是（）

A、6 B、14 C、16 D、38

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5. 如图， $▱ A B C D$ 中， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ，点E是 $A C$ 的三等分点 $(E C = \frac{1}{3} A C)$ ，则 $\vec{D E} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$

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6. 已知a，b是两条不同的直线， $α ， β ， γ$ 是三个不同的平面，则下列命题错误的是（）

A、若 $α ⊥ γ ， β / / α$ ，则 $β ⊥ γ$ B、若 $α / / β ， β / / γ ， a ⊥ α$ ，则 $a ⊥ γ$ C、若 $α ∩ γ = a ， β ∩ γ = b ， a / / b$ ，则 $α / / β$ D、若 $α ⊥ γ ， β ⊥ γ ， α ∩ β = b$ ，则 $b ⊥ γ$

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7. 已知 $A (- 2 ， 0) ， B (4 ， a)$ 两点到直线 $l ： 3 x - 4 y + 1 = 0$ 的距离相等，则 $a =$ （）

A、2 B、 $\frac{9}{2}$ C、2或 $- 8$ D、2或 $\frac{9}{2}$

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8. 智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线是 $y = 2 c o s 3 x$ ，通过主动降噪芯片生成的声波曲线是 $y = A s i n (ω x + φ)$ （其中 $A > 0 ， ω > 0 ， 0 \leq φ < 2 π$ ），则 $φ =$ （）

A、 $\frac{π}{2}$ B、π C、 $\frac{3 π}{2}$ D、 $\frac{π}{6}$

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9. 在 $△ A B C$ 中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $a^{2} - b^{2} = c^{2} - \sqrt{2} b c$ 且 $b c o s C = a s i n B$ ，则 $△ A B C$ 是（）

A、等腰直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、直角三角形

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10. 对于 ${(\frac{1}{x} - 2 \sqrt{x})}^{9}$ 的展开式，下列说法不正确的是（）

A、有理项共5项 B、二项式系数和为512 C、二项式系数最大的项是第4项和第5项 D、各项系数和为-1

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11. 下列各个函数图象所对应的函数解析式序号为（）
① $f (x) = e^{| x |} s i n x$ ② $g (x) = x - l n | x |$ ③ $t (x) = x^{2} s i n x$ ④ $h (x) = \frac{e^{x}}{x^{2}}$

A、④②①③ B、②④①③ C、②④③① D、④②③①

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12. 已知直线 $l ： y = k x (k \neq 0)$ 与双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 交于P，Q两点， $Q H ⊥ x$ 轴于点H，直线 $P H$ 与双曲线C的另一个交点为T，则下列选项中错误的是（）

A、 $- \frac{1}{2} < k < \frac{1}{2}$ 且 $k \neq 0$ B、 $k_{P T} = \frac{k}{2}$ C、 $k_{P T} \cdot k_{Q T}$ 为定值 D、 $k_{P Q}^{2} + k_{Q T}^{2}$ 的最小值为2

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二、填空题

13. 复数 $\frac{2}{1 + i}$ 的虚部为．

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14. 已知一个圆锥的侧面积为 $6 π$ ，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为.

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15. 为了保障疫情期间广大市民基本生活需求，市政府准备了茄子、辣椒、白菜、角瓜、菜花、萝卜、黄瓜、土豆八种蔬菜，并从中任选五种，以“蔬菜包”的形式发给市民．若一个“蔬菜包”中不同时含有土豆和萝卜，且角瓜、黄瓜、辣椒最多只含有两种，则可以组成种不同的“蔬菜包”．

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{x + m}{e^{x}}$ 的极大值点为0，则实数m的值为；设 $t_{1} \neq t_{2}$ ，且 $t_{2} l n t_{1} - t_{1} l n t_{2} = t_{1} - t_{2}$ ，不等式 $l n t_{1} + l n t_{2} > λ$ 恒成立，则实数 $λ$ 的取值范围为．

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三、解答题

17. 在① $b_{3} = a_{1} + a_{2} + a_{3}$ ， ② $S_{3} = 13$ 这两个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答．
已知正项等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} = 3$ ，且 $a_{2} ， a_{3} + 1 ， a_{5} + 3$ 成等比数列．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、已知正项等比数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $b_{1} = a_{1}$ ， ________，求 $S_{n}$ ．
注：如果选择两个条件并分别作答，按第一个解答计分．

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18. 为了切实维护居民合法权益，提高居民识骗防骗能力，守好居民的“钱袋子”，某社区开展“全民反诈在行动——反诈骗知识竞赛”活动，现从参加该活动的居民中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩分布如下：
成绩（分）
$[40.50)$
$[50 ， 60)$
$[60 ， 70)$
$[70 ， 80)$
$[80 ， 90)$
$(90 ， 100]$
人数
2
4
22
40
28
4

(1)、求抽取的100名居民竞赛成绩的平均分 $\bar{x}$ 和方差 $s^{2}$ （同一组中数据用该组区间的中点值为代表）；

(2)、以频率估计概率，发现该社区参赛居民竞赛成绩X近似地服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其中 $μ$ 近似为样本成绩平均分 $\bar{x}$ ， $σ^{2}$ 近似为样本成缋方差 $s^{2}$ ，若 $μ - σ < X \leq μ + 2 σ$ ，参赛居民可获得“参赛纪念证书”；若 $X > μ + 2 σ$ ，参赛居民可获得“反诈先锋证书”，
①若该社区有3000名居民参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的居民人数（结果保留整数）；
②试判断竞赛成绩为96分的居民能否获得“反诈先锋证书”．
附：若 $X ∼ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ．

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19. 如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，平面 $A_{1} C_{1} C A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为菱形， $A C$ 与 $B D$ 交于点O， $∠ A B C = 60 ° ， A B = A A_{1} = A C_{1} = 2$ ．

(1)、求证： $C_{1} O ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、线段 $D D_{1}$ 上是否存在点F，使得 $C F$ 与平面 $B_{1} A C$ 所成角的正弦值是 $\frac{3}{4}$ ？若存在，求出 $\frac{D F}{D D_{1}}$ ；若不存在，说明理由．

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2} + c o s x - 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、证明： $\sum_{k = 1}^{n} c o s \frac{1}{k} > n + \frac{1}{2 n} - 1$ ．

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21. 已知抛物线 $C_{1} ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F到其准线的距离为4，椭圆 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过抛物线 $C_{1}$ 的焦点F．

(1)、求抛物线 $C_{1}$ 的方程及a；

(2)、已知O为坐标原点，过点 $M (1 ， 1)$ 的直线l与椭圆 $C_{2}$ 相交于A，B两点，若 $\vec{A M} = m \vec{M B}$ ，点N满足 $\vec{A N} = - m \vec{N B}$ ，且 $| O N |$ 最小值为 $\frac{12}{5}$ ，求椭圆 $C_{2}$ 的离心率．

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22. 以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形被称为勒洛三角形，如图，在极坐标系 $O x$ 中，曲边三角形 $O P Q$ 为勒洛三角形，且 $P (2 ， - \frac{π}{6})$ ， $Q (2 ， \frac{π}{6})$ ，以极点O为直角坐标原点，极轴 $O x$ 为x轴正半轴建立平面直角坐标系 $x O y$ ，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{\sqrt{3}}{2} t \\ y = - 1 + \frac{1}{2} t \end{array}$ （t为参数）．

(1)、求 $\overset{⌢}{P Q}$ 的极坐标方程和 $\overset{⌢}{O Q}$ 所在圆 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、已知点M的直角坐标为 $(0 ， - 1)$ ，曲线 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 相交于A，B两点，求 $| \frac{1}{| M A |} - \frac{1}{| M B |} |$ ．

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x + 1 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) < x + 2$ 的解集M；

(2)、若 $a \notin M ， b \in M$ ，证明： $| 1 - a b | \leq | a - b |$ ．

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成绩（分）	$[40.50)$	$[50 ， 60)$	$[60 ， 70)$	$[70 ， 80)$	$[80 ， 90)$	$(90 ， 100]$
人数	2	4	22	40	28	4