广东省高州市2022届高三数学第二次模拟试卷

试卷更新日期：2022-06-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数z在复平面内对应的点为 $(1 ， 1)$ ， $\bar{z}$ 是z的共轭复数，则 $\frac{1}{\bar{z}} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$

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2. 设 $x$ $\in$ R，则“ $x$ ＞1”是“ $x^{2}$ ＞1”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示．将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位得到 $g (x)$ 的图象，则（）

A、 $g (x) = \sqrt{3} s i n (2 x + \frac{π}{6})$ ） B、 $g (x) = \sqrt{3} s i n (2 x + \frac{5 π}{12})$ C、 $g (x) = - \sqrt{3} c o s 2 x$ D、 $g (x) = \sqrt{3} c o s 2 x$

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4. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ ＝1的一条渐近线过点P（1，2），F为右焦点，则焦距为（）

A、3 B、4 C、5 D、10

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5. 已知 $b^{2} = 3 a^{2} - 2$ $(a ， b \in R)$ ，则 $| 3 a - b |$ 的最小值为（）

A、0 B、1 C、2 D、 $\sqrt{2}$

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6. 甲、乙、丙三人是某商场的安保人员，根据值班需要甲连续工作2天后休息一天，乙连续工作3天后休息一天，丙连续工作4天后休息一天，已知3月31日这一天三人均休息，则4月份三人在同一天工作的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{11}{30}$ D、 $\frac{3}{10}$

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7. 已知抛物线 $E$ ： $y^{2} = 2 x$ 的焦点为 $F$ ， $A$ 、 $B$ 、 $C$ 为抛物线 $E$ 上三点，当 $\vec{F A} + \vec{F B} + \vec{F C} = \vec{0}$ 时，称 $△ A B C$ 为“特别三角形”，则“特别三角形”有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、无数个

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二、多选题

8. 某一时段内，从天空降落到地面上的液态或固态的水，未经蒸发，而在水平面上积聚的深度称为这段时间的降雨量.24h降雨量的等级划分如下：
等级
24h降用量（mm）
小雨
（0，10）
中雨
[10，25）
大雨
[25，50）
暴雨
[50，100）
大暴雨
[100，250）
特大暴雨
[250，+∞）
在一次暴雨降雨过程中，小明用一个大容量烧杯（如图，瓶身直径大于瓶口直径，瓶身高度为50cm，瓶口高度为3cm）收集雨水，容器内雨水的高度可能是（）

A、20cm B、22cm C、25cm D、29cm

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9. 小李上班可以选择公交车、自行车两种交通工具，他分别记录了100次坐公交车和骑车所用时间（单位：分钟），得到下列两个频率分布直方图：
基于以上统计信息，则（）

A、骑车时间的中位数的估计值是22分钟 B、骑车时间的众数的估计值是21分钟 C、坐公交车时间的中位数的估计值是20分钟 D、坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值

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10. 已知a>0，圆C： ${(x - a)}^{2} + {(y - l n a)}^{2} = 1$ ，则（）

A、存在3个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切 B、存在2个不同的a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段相等 C、存在2个不同的a，使得圆C过坐标原点 D、存在唯一的a，使得圆C的面积被直线 $y = \frac{x}{e}$ 平分

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11. 已知函数f（x）的定义域为[0，+∞），f（x）＝ ${\begin{array}{l} 2^{x} - 1 ， x \in [0 ， 1) \\ l o g_{2} (3 - x) ， x \in [1 ， 2) \end{array}$ ，当x≥2时，f（x）＝λf（x﹣2），则下列说法正确的是（）

A、当λ＝﹣1时，f（log₂80）＝ $\frac{1}{4}$ B、当λ＞0时，f（x）在[10，11）单调递增 C、当λ＜﹣1时，f（x）在[0，4n]（n∈N*）的值域为[λ²n^﹣¹ ， λ²n^﹣²] D、当λ＞0，且λ≠1时，若将函数g（x）＝ $λ^{\frac{x - 1}{2}}$ 与f（x）的图像在[0，2n]（n∈N*）的n个交点记为（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n），则 $\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} + y_{i})$ ＝n²+λn﹣1

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三、填空题

12. 已知向量 $\vec{a} =$ （t，2t）， $\vec{b}$ ＝（﹣t，1），若（ $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ ）⊥（ $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ），则t＝．

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13. 已知 $f (x) = (x + 1) e^{x}$ ，函数 $f (x)$ 的图象在 $x = 0$ 处的切线方程为．

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14. 某校有一社团专门研究密码问题，社团活动室用的也是一把密码锁，且定期更换密码，都是以当日值班社员的姓氏为依据编码的，密码均为 $\frac{100}{N}$ 的小数点后前6位数字，编码方式如下：
①x为某社员的首拼声母对应的英文字母在26个英文字母中的位置；
②若x为偶数，则在正偶数数列中依次插入数值为 $3^{n}$ 的项得到新数列 ${a_{n}}$ ，即2，3，4，6，8， $3^{2}$ ，10，12，14，…；若x为奇数，则在正奇数数列中依次插入数值为 $2^{n}$ 的项得到新数列{an}，即1，2，3， $2^{2}$ ， 5，7， $2^{3}$ ，9，11，13，…；
③N为数列{an}的前x项和．如当值社员姓康，则K在26个英文字母中排第11位，所以x＝11，前11项中有 $2 ， 2^{2} ， 2^{3}$ ，所以有8个奇数， $N = 1 + 3 + ⋯ + 15 + 2 + 2^{2} + 2^{3} = 78$ ，所以密码为282051，若今天当值社员姓徐，则当日密码为．

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15. 正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的棱长为2．动点P在对角线 $B D^{'}$ 上．过点P作垂直于 $B D^{'}$ 的平面 $α$ ．记平面 $α$ 截正方体得到的截面多边形（含三角形）的周长为y＝f（x），设BP＝x， $x \in (0 ， 2 \sqrt{3})$ ．下列说法中，正确的编号为．
①截面多边形可能为四边形；
②函数f（x）的图象关于x＝ $\sqrt{3}$ 对称；
③当x＝ $\sqrt{3}$ 时，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为9π．

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四、解答题

16. 已知 ${a_{n}}$ 是首项为1，公差不为0的等差数列，且a₁ ， a₂ ， a₅成等比数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求证： $(1 + \frac{1}{a_{1}})^{2} \cdot (1 + \frac{1}{a_{2}})^{2} \cdot (1 + \frac{1}{a_{3}})^{2} ⋯ (1 + \frac{1}{a_{n}})^{2} > a_{n + 1}$ ．

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17. 图一是东汉末年与三国初期东吴数学家赵爽创造的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，三个全等的不等腰三角形构成一个大的正三角形和一个小的正三角形（如图二）．已知 $A B ： E F = \sqrt{7} ： 1$ .

(1)、求证：EF=EB；

(2)、求 $c o s (α - β)$ 的值．

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18. 某水果经营户对出售的苹果按大小和色泽两项指标进行分类，最大横切面直径不小于70毫米则大小达标，着色度不低于90%则色泽达标，大小和色泽均达标的苹果为一级果；大小和色泽有一项达标另一项不达标的苹果为二级果；两项均不达标的苹果为三级果．已知该经营户购进一批苹果，从中随机抽取100个进行检验，得到如下统计表格：

直径小于70毫米
直径不小于70毫米
合计
着色度低于90%
10
15
25
着色度不低于90%
15
60
75
合计
25
75
100
附：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.050
0.025
0.010
$k_{0}$
3.841
5.024
6.635
$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

(1)、根据以上数据，判断是否有95%的把握认为该经营户购进的这批苹果的大小达标和色泽达标有关；

(2)、该经营户对三个等级的苹果按照分层抽样从样本中抽取10个苹果，再从中随机抽取3个，求抽到二级果个数X的概率分布列和数学期望．

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19. 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是等腰梯形，AD∥BC，BC=2AD， $∠ A B C = 60 °$ ，E是棱PB的中点，F是棱PC上的点，且A、D、E、F四点共面．

(1)、求证：F为PC的中点；

(2)、若△PAD为等边三角形，二面角 $P - A D - B$ 的大小为 $120 °$ ，求直线BD与平面ADFE所成角的正弦值．

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20. 已知圆O：x²+y²＝4与x轴交于点 $A (- 2 ， 0)$ ，过圆上一动点M作x轴的垂线，垂足为H，N是MH的中点，记N的轨迹为曲线C．

(1)、求曲线C的方程；

(2)、过 $(- \frac{6}{5} ， 0)$ 作与x轴不重合的直线l交曲线C于P，Q两点，设直线AP，AS的斜率分别为k₁ ， k₂.证明：k₁＝4k₂ ．

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21. 已知函数 $f (x) = a | l n x | + x + \frac{1}{x} ， g (x) = e^{x} + e^{- x} - a | l n (a x) | - \frac{1}{a x}$ ，其中 $a > 0$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $\frac{f^{'} (\frac{1}{e})}{f^{'} (e)}$ 的值；

(2)、讨论 $g (x)$ 的零点个数.

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等级	24h降用量（mm）
小雨	（0，10）
中雨	[10，25）
大雨	[25，50）
暴雨	[50，100）
大暴雨	[100，250）
特大暴雨	[250，+∞）

	直径小于70毫米	直径不小于70毫米	合计
着色度低于90%	10	15	25
着色度不低于90%	15	60	75
合计	25	75	100

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.050	0.025	0.010
$k_{0}$	3.841	5.024	6.635