山东省泰安市2022届高考数学全真模拟试卷

试卷更新日期：2022-06-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ x > - 7} ， B = {x ∣ (x + 8) (x - 3) < 0}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 ${x ∣ x > - 8}$ B、 ${x ∣ - 7 < x < 3}$ C、 ${x ∣ x > - 7}$ D、 ${x ∣ - 7 < x < 8}$

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2. 已知向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 不共线，向量 $\vec{O A} = 5 \vec{m} - 3 \vec{n}$ ， $\vec{O B} = x \vec{m} + \vec{n}$ ，若O，A，B三点共线，则 $x =$ （）

A、 $- \frac{5}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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3. ${(x - \frac{1}{x})}^{22}$ 展开式中的常数项为（）

A、 $C_{22}^{11}$ B、 $- C_{22}^{11}$ C、 $C_{22}^{12}$ D、 $- C_{22}^{12}$

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4. 定义矩阵运算 $(\begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array}) (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{l} a x + b y \\ c x + d y \end{array})$ ，则 $(\begin{array}{l} l g 4 & l g 5 \\ l g 8 & l g 2 \end{array}) (\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}) =$ （）

A、 $(\begin{array}{l} l g 50 \\ 5 l g 2 \end{array})$ B、 $(\begin{array}{l} 2 \\ 5 l g 2 \end{array})$ C、 $(\begin{array}{l} l g 50 \\ 4 l g 2 \end{array})$ D、 $(\begin{array}{l} 2 \\ 4 l g 2 \end{array})$

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5. 若等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $2 a_{8} - a_{9} = 6$ ，则它的前13项和为（）

A、110 B、78 C、55 D、45

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6. 在底面是正方形的四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面ABCD，且 $P A = 3 ， A B = 4$ ，则四棱锥 $P - A B C D$ 内切球的表面积为（）

A、3π B、4π C、5π D、6π

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7. 已知 $4 x^{4} + 9 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} = 1$ ，则 $5 x^{2} + 3 y^{2}$ 的最小值是（）

A、2 B、 $\frac{12}{7}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、3

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8. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与C在第一象限的交点为A，直线 $A F_{1}$ 与C的左支交于点B，且 $| A B | = | A F_{2} |$ ．设C的离心率为e，则 $e^{2} =$ （）

A、 $4 - 2 \sqrt{2}$ B、 $5 - 2 \sqrt{2}$ C、 $4 + 2 \sqrt{2}$ D、 $5 + 2 \sqrt{2}$

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二、多选题

9. 已知复数 $z$ 满足方程 $(z^{2} + 9) (z^{2} - 2 z + 4) = 0$ ，则（）

A、 $z$ 可能为纯虚数 B、该方程共有两个虚根 C、 $z$ 可能为 $1 - \sqrt{3} i$ D、该方程的各根之和为2

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10. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左，右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ， A，B两点都在C上，且A，B关于坐标原点对称，则（）

A、 $| A B |$ 的最大值为 $2 \sqrt{6}$ B、 $| A F_{1} | + | B F_{1} |$ 为定值 C、C的焦距是短轴长的2倍 D、存在点A，使得 $A F_{1} ⊥ A F_{2}$

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11. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0)$ 在 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{6}]$ 上单调，且 $f (\frac{π}{6}) = f (\frac{4 π}{3}) = - f (- \frac{π}{3})$ ，则 $ω$ 的取值可能为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{7}{5}$ C、 $\frac{9}{5}$ D、 $\frac{12}{7}$

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12. 已知函数 $y = 3^{2^{x}} - 2^{3^{x}}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上先增后减，函数 $y = 4^{3^{x}} - 3^{4^{x}}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上先增后减.若 $l o g_{2} (l o g_{3} x_{1}) =$ $l o g_{3} (l o g_{2} x_{1}) = a > 0$ ， $l o g_{2} (l o g_{4} x_{2}) = l o g_{4} (l o g_{2} x_{2}) = b$ ， $l o g_{3} (l o g_{4} x_{3}) = l o g_{4} (l o g_{3} x_{3}) = c > 0$ ，则（）

A、 $a < c$ B、 $b < a$ C、 $c < a$ D、 $a < b$

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三、填空题

13. 若 $t a n α = 3 t a n β$ ， $t a n β > 0$ ， $t a n (α + β) = - 2$ ，则 $t a n β =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = - x^{3} + a x^{2}$ ，写出一个同时满足下列两个条件的 $f (x)$ ：.①在 $[1 ， + \infty)$ 上单调递减；②曲线 $y = f (x) (x \geq 1)$ 存在斜率为-1的切线.

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15. 古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式.”在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美.如图所示的是清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》，其以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，无论顺着读还是逆着读，皆成佳作.数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）.数学上把20200202这样的对称数叫回文数，若两位数的回文数共有9个（11，22，…，99）.则所有四位数的回文数中能被3整除的个数是.

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16. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.在堑堵 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ， M是 $A_{1} C_{1}$ 的中点， $A B = 7$ ， N，G分别在棱 $B B_{1}$ ， AC上，且 $B N = \frac{1}{3} B B_{1}$ ， $A G = \frac{1}{3} A C$ ，平面MNG与AB交于点H，则 $\frac{A H}{B H} =$ ， $\vec{H M} \cdot \vec{A B} =$ .

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四、解答题

17. 某百科知识竞答比赛的半决赛阶段，每两人一组进行PK，胜者晋级决赛，败者终止比赛.比赛最多有三局.第一局限时答题，第二局快问快答，第三局抢答.比赛双方首先各自进行一局限时答题，依据答对题目数量，答对多者获胜，比赛结束，答对数量相等视为平局，则需进入快问快答局；若快问快答平局，则需进入抢答局，两人进行抢答，抢答没有平局.已知甲､乙两位选手在半决赛相遇，且在与乙选手的比赛中，甲限时答题局获胜与平局的概率分别为 $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ，快问快答局获胜与平局的概率分别为 $\frac{1}{3} ， \frac{1}{6}$ ，抢答局获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，且各局比赛相互独立.

(1)、求甲至多经过两局比赛晋级决赛的概率；

(2)、已知乙最后晋级决赛，但不知甲､乙两人经过几局比赛，求乙恰好经过三局比赛才晋级决赛的概率.

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18. 已知 ${a_{n} + 8}$ 是公比为2的等比数列， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $S_{3} = S_{2}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${| a_{n} |}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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19. 如图1，在矩形ABCD中， $A B = 2 ， B C = 1$ ， E是CD的中点，将 $△ D A E$ 沿AE折起至 $△ P A E$ 的位置，使得平面 $P A E ⊥$ 平面ABCE，如图2．

(1)、证明：平面 $P A E ⊥$ 平面PBE．

(2)、M为CE的中点，求直线BM与平面PAM所成角的正弦值．

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20. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点O是 $△ A B C$ 的外心， $a c o s (C - \frac{π}{3}) = \frac{\vec{A O} \cdot \vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{\vec{A O} \cdot \vec{A C}}{| \vec{A C} |}$ ．

(1)、求角A；

(2)、若 $△ A B C$ 外接圆的周长为 $4 \sqrt{3} π$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围，

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21. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点 $K (t ， t)$ （ $t \neq 0$ ）到焦点F的距离为5.

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、过点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，直线OP，OQ与圆 $E ： (x - 4)^{2} + y^{2} = 16$ 的另一交点分别为M，N，O为坐标原点，求 $△ O M N$ 与 $△ O P Q$ 面积之比的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = g (x) - l n x$ .

(1)、若函数 $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + a x + a l n x$ ，讨论 $f (x)$ 的单调性.

(2)、若函数 $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} (x^{2} - x l n x + \frac{1}{x})$ ，证明： $f (x) > \frac{1 + l n 2}{2}$ .

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