山东省济南市2022届高三下学期数学5月高考模拟考试（三模）试卷

试卷更新日期：2022-06-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x \in Z | - 1 < x \leq 2}$ ， $B = {x | | x | \leq 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | 0 < x \leq 1}$ B、 ${x | - 1 < x \leq 1}$ C、 ${1}$ D、 ${0 ， 1}$

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2. 复数 $z = 2 - i^{5}$ （其中i为虚数单位）的共轭复数为（）

A、 $2 - i$ B、 $2 + i$ C、1 D、3

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3. 已知单位向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ ，满足 $\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$ ，则向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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4. “ $0 < a < \frac{1}{2}$ ”是“方程 $\frac{x^{2}}{2 a - 1} + \frac{y^{2}}{a} = 1$ 表示的曲线为双曲线”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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5. “回文联”是对联中的一种，既可顺读，也可倒读．比如，一副描绘厦门鼓浪屿景色的回文联：雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天．由此定义“回文数”，n为自然数，且n的各位数字反向排列所得自然数 $n^{'}$ 与n相等，这样的n称为“回文数”，如：1221，2413142．则所有5位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有（）

A、648个 B、720个 C、810个 D、891个

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6. 已知圆 $M$ ： ${(x - a)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，若圆 $M$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $\frac{| A B |}{| M B |} = \sqrt{3}$ ，则 $r =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、1

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7. 如图1，洛书是一种关于天地空间变化脉络的图案，2014年正式入选国家级非物质文化遗产名录，其数字结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，形成图2中的九宫格，将自然数1，2，3，…， $n^{2}$ 放置在n行n列 $(n \geq 3)$ 的正方形图表中，使其每行、每列、每条对角线上的数字之和（简称“幻和”）均相等，具有这种性质的图表称为“n阶幻方”．洛书就是一个3阶幻方，其“幻和”为15．则7阶幻方的“幻和”为（）
图1
4
9
2
3
5
7
8
1
4
图2

A、91 B、169 C、175 D、180

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8. 已知函数 $f (x) = s i n x + s i n 2 x$ 在 $(0 ， a)$ 上有4个零点，则实数a的最大值为（）

A、 $\frac{4}{3} π$ B、 $2 π$ C、 $\frac{8}{3} π$ D、 $3 π$

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二、多选题

9. 进入21世纪以来，全球二氧化碳排放量增长迅速，自2000年至今，全球二氧化碳排放量增加了约40%，我国作为发展中国家，经济发展仍需要大量的煤碳能源消耗．下图是2016—2020年中国二氧化碳排放量的统计图表（以2016年为第1年）．利用图表中数据计算可得，采用某非线性回归模型拟合时， ${R_{1}}^{2} = 0.9798$ ；采用一元线性回归模型拟合时，线性回归方程为 $\hat{y} = 1.58 x + 91.44$ ， ${R_{2}}^{2} = 0.9833$ ．则下列说法正确的是（）

A、由图表可知，二氧化碳排放量y与时间x正相关 B、由决定系数可以看出，线性回归模型的拟合程度更好 C、利用线性回归方程计算2019年所对应的样本点的残差为-0.30 D、利用线性回归方程预计2025年中国二氧化碳排放量为107.24亿吨

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10. 将函数 $f (x) = c o s (2 x - \frac{π}{3})$ 图像上所有的点向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图像，则下列说法正确的是（）

A、 $g (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $g (x)$ 图像的一个对称中心为 $(\frac{7}{12} π ， 0)$ C、 $g (x)$ 的单调递减区间为 $[\frac{π}{3} + k π ， \frac{5 π}{6} + k π] (k \in Z)$ D、 $g (x)$ 的图像与函数 $y = - s i n (2 x - \frac{π}{6})$ 的图像重合

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11. 已知函数 $f (x) = l n (\sqrt{4 x^{2} + 1} + 2 x) + x^{3}$ ， $g (x) = f (x + 1)$ ．若实数a，b(a，b均大于1)满足 $g (3 b - 2 a) + g (- 2 - a) > 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在R上单调递增 B、函数 $g (x)$ 的图象关于 $(1 ， 0)$ 中心对称 C、 $e^{a - b} > \frac{b}{a}$ D、 $l o g_{a} (a + 1) > l o g_{b} (b + 1)$

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12. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为 $P_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $P_{2} = \frac{5}{9}$ B、 $P_{n + 1} = \frac{2}{3} P_{n} + \frac{1}{3}$ C、点Q移动4次后恰好位于点 $C_{1}$ 的概率为0 D、点Q移动10次后仍在底面ABCD上的概率为 $\frac{1}{2} (\frac{1}{3})^{10} + \frac{1}{2}$

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三、填空题

13. 已知正实数a，b满足 $a b = 4$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{9}{b}$ 的最小值为．

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14. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，若过点 $(1 ， 2)$ 的直线l与抛物线恒有公共点，则p的值可以是．（写出一个符合题意的答案即可）

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15. 2022年3月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于构建更高水平的全民健身公共服务体系的意见》，再次强调持续推进体育公园建设．如图，某市拟建造一个扇形体育公园，其中 $∠ A O B = \frac{π}{3}$ ， $O A = O B = 2$ 千米．现需要在 $O A$ ， OB， $\overset{⌢}{A B}$ 上分别取一点D，E，F，建造三条健走长廊DE，DF，EF，若 $D F ⊥ O A$ ， $E F ⊥ O B$ ，则 $D E + E F + F D$ 的最大值为千米．

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16. 在四面体ABCD中，已知 $A B = C D = A C = B D = 2 \sqrt{5}$ ， $A D = B C = 4$ ，记四面体ABCD外接球的球心到平面ABC的距离为 $d_{1}$ ，四面体 $A B C D$ 内切球的球心到点A的距离为 $d_{2}$ ，则 $\frac{d_{1}}{d_{2}}$ 的值为．

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四、解答题

17. 已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 $4 a s i n B = 3 b c o s A$ ．

(1)、求 $c o s A$ 的值；

(2)、若△ABC的面积为 $\frac{a^{2} - c^{2}}{2}$ ，求 $\frac{b}{c}$ 的值．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $\sqrt{a_{n}} - \sqrt{a_{n - 1}} = 1 (n \in N_{+} ， n \geq 2)$ ， $a_{2} = 4$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} < 2$ ．

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19. 如图1，正方形ABCD中，E，F分别为边BC，AD的中点，将四边形EFDC沿直线EF折起，使得平面 $C D F E ⊥$ 平面ABEF．如图2，点M，N分别满足 $\vec{A M} = 2 \vec{M C}$ ， $\vec{F N} = \vec{N E}$ ．

(1)、求证： $A N ⊥$ 平面BMN；

(2)、求平面AFM与平面BMN夹角的余弦值．

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20. 数据显示，中国直播购物规模近几年保持高速增长态势，而直播购物中的商品质量问题逐渐成为人们关注的重点．已知某顾客在直播电商处购买了 $n (n \in N_{+})$ 件商品．

(1)、若 $n = 10$ ，且买到的商品中恰好有2件不合格品，该顾客等可能地依次对商品进行检查．求顾客检查的前4件商品中不合格品件数X的分布列．

(2)、抽检中发现直播电商产品不合格率为0.2．若顾客购买的n件商品中，至少有两件合格产品的概率不小于0.9984，求n的最小值．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，且经过点 $P (1 ， \sqrt{3})$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、A、B为椭圆C上两点，直线PA与PB的倾斜角互补，求△PAB面积的最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = l n | x | + a c o s x + b x$ ，其中 $a \geq 0$ ， $b \in R$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，若 $f (x)$ 存在大于零的极值点，求b的取值范围．

(2)、若存在 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [- \frac{π}{2} ， 0) ∪ (0 ， \frac{π}{2}]$ （其中 $x_{1} \neq x_{2}$ ，使得曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{1} ， f (x_{1}))$ 与点 $(x_{2} ， f (x_{2}))$ 处有相同的切线，求a的取值范围．

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