浙江省七彩阳光新高考研究联盟2021-2022学年高二下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-06-20 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x \geq 1} ， B = {x | - 1 < x < 2}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 ${x | x > - 1}$ B、 ${x | x \geq 1}$ C、 ${x | - 1 < x < 1}$ D、 ${x | 1 \leq x < 2}$

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2. 直线 $3 x + \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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3. 若直线 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，且 $a / /$ 平面 $α$ ，则直线b与平面 $α$ 的位置关系是（）

A、 $b \subset α$ B、 $b / / α$ C、 $b \subset α$ 或 $b / / α$ D、b与 $α$ 相交或 $b / / α$ 或 $b \subset α$ 都有可能

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4. 洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图，若从五个阳数中随机抽取三个数，则能使得这三个数之和等于15的概率是（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{2}{5}$

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5. 函数 $y = x s i n x + c o s x$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 若抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的准线为 $l$ ， P是抛物线上任意一点，则P到准线 $l$ 的距离与P到直线 $3 x + 4 y + 7 = 0$ 的距离之和的最小值是（）

A、2 B、 $\frac{13}{5}$ C、 $\frac{14}{5}$ D、3

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7. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关……”其大意为：有一个人走378里路，第一天健步走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天到达目的地…….则此人后四天走的路程比前两天走的路程少（）里.

A、198 B、191 C、63 D、48

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8. 如图所示，三棱锥S一ABC中，△ABC与△SBC都是边长为1的正三角形，二面角A﹣BC﹣S的大小为 $\frac{2 π}{3}$ ，若S，A，B，C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）

A、 $\frac{7}{3}$ π B、 $\frac{13}{3}$ π C、 $\frac{4}{3}$ π D、3π

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二、多选题

9. 已知复数 $z$ 满足 $(1 + 2 i) z = 3 + i$ ( $i$ 是虚数单位)，以下命题正确的是（）

A、 $| z | = \sqrt{2}$ B、 $z$ 的虚部为 $- i$ C、复平面上 $z$ 对应的点在第四象限 D、 $| \bar{z} | = 2$

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10. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x$ ，下列说法中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在原点 $(0 ， 0)$ 处的切线方程是 $3 x + y = 0$ B、 $- 1$ 是函数 $f (x)$ 的极大值点 C、函数 $y = s i n x + f (x)$ 在 $R$ 上有3个极值点 D、函数 $y = s i n x - f (x)$ 在 $R$ 上有3个零点

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11. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x - 4) = - f (x)$ ，且在区间 $[0 ， 2]$ 上单调递增，则（）

A、 $f (2019) = f (2017)$ B、 $f (2019) = f (2020)$ C、 $f (2020) < f (2019)$ D、 $f (2020) > f (2018)$

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12. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $4 ， E$ 为 $B C$ 的中点， $F$ 为线段 $C C_{1}$ 上的动点，过点 $A ， E ， F$ 的平面截该正方体所得的截面记为S，下列说法中正确的是（）

A、当 $F$ 为线段 $C C_{1}$ 中点时，S为等腰梯形 B、当 $C F = 3$ 时，S与 $C_{1} D_{1}$ 的交点 $G$ 满足 $C_{1} G = \frac{4}{3}$ C、当 $3 < C F < 4$ 时，S为六边形 D、三棱锥 $D_{1} - D B F$ 的体积为定值

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， x) ， \vec{b} = (x ， 4) ， \vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x =$ .

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14. 某中学举行电脑知识竞赛，现将参赛学生的成绩进行整理后，分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图.则参赛学生的成绩的中位数是．

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15. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左焦点F关于一条渐近线的对称点恰好落在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为.

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16. 对 $\forall x \in R$ ， $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[3.14] = 3$ ， $[0.618] = 0$ ，若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{5}{4}$ ， $a_{n + 1} = a_{n}^{2} - a_{n} + 1$ ， $n \in N^{*}$ ，记数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，则 $[T_{2022}] =$ .

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四、解答题

17. 如图，在△ $A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $b c o s ∠ B A C = a s i n B$ .

(1)、求 $∠ B A C$ 的大小；

(2)、若 $A B ⊥ A D ， A C = 2 \sqrt{2} ， C D = \sqrt{5}$ ，求 $△ A C D$ 的面积.

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18. 已知圆 $C_{1} ： (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 1 ， C_{2} ： (x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 3$ ，点 $P ， A ， B$ 分别在 $x$ 轴和圆 $C_{1} ， C_{2}$ 上.

(1)、判断两圆的位置关系；

(2)、求 $| P A | + | P B |$ 的最小值.

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19. 已知三棱锥 $D - A B C$ 中，平面 $A C D ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ A C B = ∠ A C D = 4 5^{∘} ， D A = D C = 2 B C = 2$ .

(1)、证明： $C B ⊥ D B$ ；

(2)、求 $C B$ 与平面 $D A B$ 所成角的正弦值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 3$ ，点 $(a_{n} ， a_{n + 1})$ 在直线 $y = 3 x$ 上.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式及其前 $n$ 项的和 $S_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = \frac{n}{a_{n}} ， n \in N^{*}$ ，证明： $b_{1} + b_{2} + ⋯ + b_{n} < \frac{3}{4}$ .

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21. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点为 $F_{1} ， F_{2}$ ，且 $F_{2} (1 ， 0)$ 为长轴的一个四等分点.

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、分别过 $F_{1} ， F_{2}$ 作斜率为 $k_{1} ， k_{2}$ 的两条直线 $l_{1}$ 和 $l_{2} ， l_{1}$ 与椭圆交于 $A ， B$ 两点， $l_{2}$ 与椭圆交于 $C ， D$ 两点，且 $k_{1} \cdot k_{2} = 1$ .求证： $\frac{1}{| A B |} + \frac{1}{| C D |}$ 为定值，并求出该定值.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x} - x + a l n x ， a \in R$ .

(1)、当 $a = \frac{5}{2}$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $\frac{3 \sqrt{2}}{2} \leq a \leq \frac{5}{2}$ ，记 $f (x)$ 的两个极值点分别为 $x_{1} ， x_{2} ， \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}}$ 的最大值与最小值分别为 $M ， m$ ，求 $M - m$ 的值.

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