浙江省嘉兴八校联盟2021-2022学年高二下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-06-20 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2}$ ， $B = {2 ， 3 ， 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、{2} B、{3} C、 ${1 ， 3}$ D、 ${1 ， 2}$

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2. 在同一坐标系中，函数 $y = 2^{x}$ 与 $y = l o g_{2} x$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 已知 $a$ ， $b$ 为实数，则“ $a^{3} < b^{3}$ ”是“ $a < b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 某同学通过计算机测试的概率为 $\frac{1}{3}$ ，他连续测试3次，其中恰有2次通过的概率为（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{4}{27}$ D、 $\frac{2}{27}$

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5. 已知 ${(x - 2)}^{9} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{9} x^{9}$ ，则 $a_{8} =$ （）

A、-18 B、18 C、-256 D、256

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6. 现将3名志愿者安排到5个不同的小区协助社区做核酸检测，要求每人只能去一个小区服务，则不同的安排方法种数有（）

A、60 B、125 C、210 D、243

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7. 某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{3}{5}$

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8. 在一次抽奖活动中，主办方在一个箱子里放有 $n - 1$ 个写有“谢谢参与”的奖券，1个写有“恭喜中奖”的奖券，若活动规定随机从箱子中不放回地抽取奖券，若抽到写有“谢谢参与”的奖券，则继续；若抽到写有“恭喜中奖”的奖券则停止，则抽奖次数Z的均值是（）

A、 $\frac{1}{n}$ B、 $\frac{n - 1}{2}$ C、 $\frac{n + 1}{2}$ D、 $\frac{n}{2}$

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二、多选题

9. 已知二项式 ${(x + \frac{2}{x})}^{6}$ ，则下列说法正确的是（）

A、展开式中的常数项为160 B、展开式中含 $x^{2}$ 项的系数是60 C、若展开式中各项系数之和为64 D、展开式中的二项式系数最大项为第3项

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10. 5G技术的运营不仅提高了网络传输速度，更拓宽了网络资源的服务范围.目前，我国加速了5G技术的融合与创新，前景美好!某手机商城统计了5个月的5G手机销量，如下表所示：

月份	2020年6月	2020年7月	2020年8月	2020年9月	2020年10月
月份编号x	1	2	3	4	5
销量y部	52	95	a	185	227

若y与x线性相关，由上表数据求得线性回归方程为 $\hat{y} = 44 x + 10$ ，则下列说法正确的是（）

A、5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约10台 B、

a = 155

C、y与x正相关 D、预计12月份该手机商城的5G手机销量约为318部

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11. 假设两所学校的数学联考成绩（分别记为X，Y）均服从正态分布，即 $X ∼ N (μ_{1} ， σ_{1}^{2})$ ， $Y ∼ N (μ_{2} ， σ_{2}^{2})$ ， X，Y的正态分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的有（）
参考数据：若 $ξ ∼ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq ξ \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq ξ \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$

A、 $μ_{1} > μ_{2}$ B、 $σ_{1} < σ_{2}$ C、 $P (μ_{1} - 2 σ_{1} \leq X \leq μ_{1} + σ_{1}) \approx 0.8186$ D、 $P (Y \leq μ_{1}) < P (Y \leq μ_{2})$

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12. 对于定义域为 $D$ 的函数 $f (x)$ ，若存在区间 $[m ， n] \subseteq D$ ，同时满足下列条件：① $f (x)$ 在 $[m ， n]$ 上是单调的；②当定义域是 $[m ， n]$ 时， $f (x)$ 的值域也是 $[m ， n]$ ，则称 $[m ， n]$ 为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的是（）

A、 $f (x) = 2 x$ B、 $f (x) = 3 - \frac{2}{x}$ C、 $f (x) = x^{2} - 2 x$ D、 $f (x) = \ln x + 2$

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三、填空题

13. 已知随机变量X的取值为0，1，若 $P (X = 0) = \frac{1}{5}$ ，则方差为．

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14. 有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的次品率为5%，第2台车床加工的次品率为6%，加工出来的零件混放在一起．已知两台车床加工的零件数分别占总数的40%，60%，则任取一个零件是次品的概率为．

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15. “赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现用4种不同的颜色（4种颜色全部使用）给这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，每个区域只涂一种颜色，则不同的涂色方案有种．

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16. 已知函数 $f （ x ） = {\begin{array}{l} - x^{2} + x ， x \leq 1 \\ l o g_{\frac{1}{3}} x ， x > 1 \end{array}$ 若对任意的x∈R，不等式 $f (x) \leq m^{2} - \frac{3}{4} m$ 恒成立，则实数m的取值范围是.

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四、解答题

17. 由数字0，1，2，3，4．回答下列问题：

(1)、可组成多少个没有重复数字的五位数？

(2)、从中任取两个数，求取出的两个数之积恰为偶数的不同取法有多少种？

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18. 在① $s i n α = 2 \sqrt{2} c o s α$ ， ② $s i n α + c o s α = \frac{2 \sqrt{2} + 1}{3}$ 这两个条件中任选一个补充在下面的问题中，并给出解答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
已知 $α$ ， $β$ 均为锐角， $c o s (α + β) = - \frac{3}{5}$ ，且____

(1)、求 $s i n 2 α$ 的值；

(2)、求 $s i n β$ 的值．

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19. 已知二项式 ${(x - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式的各二项式系数的和等于128，

(1)、求n的值；

(2)、求展开式中系数最大的项．

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20. 新冠肺炎疫情期间，各地均响应“停课不停学，停课不停教”的号召开展网课学习．为检验网课学习效果，某机构对2000名学生进行了网上调查，发现有些学生上网课时有家长在旁督促，而有些没有网课结束后进行考试，根据考试结果将这2000名学生分成“成绩上升”和“成绩没有上升”两类，对应的人数如下表所示：

成绩上升
成绩没有上升
合计
有家长督促的学生
500
800
没有家长督促的学生
500
没有家长督促的学生
2000
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} ， n = a + b + c + d$
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.100
0.050
0.010
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
6.835
10.828

(1)、完成以上列联表，并通过计算（结果精确到（0.001））说明，是否有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联

(2)、从有家长督促的800名学生中按成绩是否上升，采用分层抽样的方法抽出8人，再从8人中随机抽取 3人做进一步调查，记抽到 $3$ 名成绩上升的学生得1分，抽到1名成绩没有上升的学生得-1分，抽到 $3$ 名生的总得分用 $X$ 表示，求 $X$ 的分布列和数学期望．

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21. 一个不透明袋子里装有红色小球x个，绿色小球y个，蓝色小球z个，小球除颜色外其他都相同.从中任取一个小球，规定取出的小球是蓝色的积3分，绿色的积2分，红色的积1分.

(1)、若 $x = 3 ， y = 2 ， z = 1$ ，从该袋子中随机有放回的抽取2个小球，记X为取出小球的积分之和，求X的分布列；

(2)、从该袋子中随机取一个小球，记Y为此小球的对应积分，若 $E (Y) = \frac{5}{3} ， D (Y) = \frac{5}{9}$ ，求 $x ： y ： z$ .

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22. 定义在R上的函数f（x）＝|x²﹣ax|（a∈R），设g（x）＝f（x+l）﹣f（x）.

(1)、若y＝g（x）为奇函数，求a的值：

(2)、设h（x） $= \frac{g （ x ）}{x}$ ，x∈（0，+∞）
①若a≤0，证明：h（x）＞2：

②若h（x）的最小值为﹣1，求a的取值范围.

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	成绩上升	成绩没有上升	合计
有家长督促的学生	500		800
没有家长督促的学生		500
没有家长督促的学生			2000

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.100	0.050	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	6.835	10.828