浙江省杭州地区（含周边重点中学）2021-2022学年高二下学数学期期中联考试卷

试卷更新日期：2022-06-20 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{5} = 10$ ，则 $a_{2} + a_{8} =$ （）

A、5 B、10 C、20 D、40

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2. 已知函数 $y = f (x)$ 的导函数的图象如右下图所示，则 $y = f (x)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 数列 ${\frac{1}{2^{n} - 2022}}$ （）

A、既有最大项，又有最小项 B、有最大项，无最小项 C、无最大项，有最小项 D、既无最大项，又无最小项

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4. 已知随机变量 $X$ 满足 $D (X) = 2$ ，则 $D (3 X - 1) =$ （）

A、5 B、6 C、12 D、18

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5. 数列 ${\frac{1}{\sqrt{2 n + 1} + \sqrt{2 n - 1}}}$ 的前2022项和为（）

A、 $\frac{\sqrt{4043} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{4045} - 1}{2}$ C、 $\sqrt{4043} - 1$ D、 $\sqrt{4045} - 1$

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6. 已知定义在 $R$ 上的可导函数 $f (x)$ 满足 $f^{'} (x) - f (x) < 0$ ，则（）

A、 $f (1) > f (2)$ B、 $f (1) < f (2)$ C、 $e f (1) > f (2)$ D、 $e f (1) < f (2)$

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7. 某项射击试验中，某人首射中靶的概率为0.6，若前一次中靶，则后一次中靶的概率为0.9，若前一次不中靶，则后一次中靶的概率仍为0.6.若此人射击二次，则该人第二次中靶的条件下，第一次中靶的概率是（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{9}{13}$ C、 $\frac{10}{13}$ D、 $\frac{9}{10}$

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8. 已知前 $n$ 项和为 $S_{n}$ 的数列 ${a_{n}}$ 满足 ${(- 1)}^{n} \cdot S_{n} = a_{n} + n^{2} - 3 n + 2$ ，则 $a_{2022} =$ （）

A、 $- 2 \times 202 2^{2}$ B、 $2 \times 202 2^{2} + 8086$ C、 $2 \times 202 3^{2} + 4044$ D、 $2 \times 202 3^{2} + 8086$

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二、多选题

9. 下列求导错误的是（）

A、 ${(l o g_{2} 3)}^{^{'}} = \frac{1}{3 l n 2}$ B、 ${(l n 2 x)}^{^{'}} = \frac{1}{2 x}$ C、 ${(s i n^{2} x)}^{^{'}} = s i n 2 x$ D、 ${(\frac{c o s x}{x})}^{^{'}} = \frac{c o s x + s i n x}{x^{2}}$

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10. 已知二项式 ${(1 - 2 x)}^{8}$ 的展开式中（）

A、含 $x^{2}$ 项的系数为28 B、所有项的系数和为1 C、二项式系数最大的项是第五项 D、系数最大的项是第六项

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11. 已知 $P (A) > 0$ ， $P (B) > 0$ ， $P (C) > 0$ （）

A、若事件 $A ， B$ 独立，则 $P (A) = P (A | B)$ B、若事件 $A ， B$ 互斥，则 $P ((A + B) | C) = P (A | C) + P (B | C)$ C、若事件 $A ， B$ 独立，则 $P (C | (A B)) = P (C | A) P (C | B)$ D、若事件 $A ， B$ 互斥，则 $P (C | (A + B)) = P (C | A) + P (C | B)$

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12. 已知 $f (x) = x e^{- x} - a x - b$ （）

A、若 $b > \frac{4}{e^{2}}$ ，则 $\exists a \in (0 ， + ∞)$ ，使函数 $y = f (x)$ 有2个零点 B、若 $b > \frac{4}{e^{2}}$ ，则 $\exists a \in (- \infty ， 0)$ ，使函数 $y = f (x)$ 有2个零点 C、若 $0 < b < \frac{4}{e^{2}}$ ，则 $\exists a \in (0 ， + ∞)$ ，使函数 $y = f (x)$ 有2个零点 D、若 $0 < b < \frac{4}{e^{2}}$ ，则 $\exists a \in (- \infty ， 0)$ ，使函数 $y = f (x)$ 有2个零点

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ 在区间 $[1 ， 1 + Δ x]$ 上的平均变化率是.

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14. 函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ 的极小值点是.

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15. 5位学生被分配到3个志愿点作志愿者，每个志愿点至少分配一位学生，其中甲乙不能分配到同一个志愿点，则共有种不同的分配方式（用数字作答）.

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16. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若对于 $\forall n \in N^{*}$ ， $(S_{n} + a_{2}) (S_{n + 1} + a_{2}) < 0$ 恒成立，则等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为.

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四、解答题

17. 已知 $f (x) = s i n 2 x + 2 \sqrt{3} s i n^{2} x$ .

(1)、求 $f (\frac{π}{12})$ ；

(2)、求函数 $y = f (x)$ 的单调递增区间.

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18. 如图，已知三棱锥 $S - A B C$ ， $S A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ A B C = 12 0^{∘}$ ， $A B = 2$ ， $B C = 1$ ， $S A = \sqrt{3}$ . $M$ 、 $N$ 分别为 $S B$ 、 $S C$ 的中点.

(1)、证明： $B C / /$ 平面 $A M N$ ；

(2)、求点 $M$ 到平面 $A B N$ 的距离.

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19. 盒子里有3个球，其中2个白球，1个红球.从中随机取球，若取到红球则放回，若取到白球，则不放回，当第2次取到红球时，取球终止.

(1)、求恰好取了4次球的概率；

(2)、设游戏终止时取出的白球个数为随机变量 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列及期望.

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20. 阿司匹林（分子式 $C_{9} H_{8} O_{4}$ ，分子质量180）对血小板聚集的抑制作用，使它能降低急性心肌梗死疑似患者的发病风险.对于急性心肌梗死疑似患者，建议第一次服用剂量300 $m g$ ，嚼碎后服用以快速吸收，以后每24小时服用200 $m g$ .阿司匹林口服后经胃肠道完全吸收，阿司匹林吸收后迅速降解为主要代谢产物水杨酸（分子式 $C_{7} H_{6} O_{3}$ ，分子质量138），降解过程生成的水杨酸的质量为阿司匹林质量的 $\frac{23}{30}$ ，水杨酸的清除半衰期（一般用物质质量衰减一半所用的时间来描述衰减情况，这个时间被称作半衰期）约为12小时.（考虑所有阿司匹林都降解为水杨酸）

(1)、求急性心肌梗死疑似患者第1次服药48小时后第3次服药前血液中水杨酸的含量（单位 $m g$ ）；

(2)、证明：急性心肌梗死疑似患者服药期间血液中水杨酸的含量不会超过230 $m g$ .

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21. 已知点 $Q$ 为双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 1)$ 右支上的点，双曲线 $C$ 在点 $Q$ 处的切线 $l$ 交渐近线于点 $M$ ， $N$ .

(1)、证明： $Q$ 为 $M N$ 中点；

(2)、若双曲线 $C$ 上存在点 $P$ 使 $△ P M N$ 的垂心恰为原点，求 $b$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = (e - 1) l n x - x$ ，实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 为方程 $f (x) = a$ 的两个不等的根.

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、证明： $| x_{1} - x_{2} | ≤ \frac{1 - e}{e - 2} [(e - 1) a + 1]$ .

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