浙江省杭州“六县九校”联盟2021-2022学年高二下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-06-20 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 < 0}$ ， $B = {x | y = l o g_{3} (2 x - 2)}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | - 1 < x < 2}$ B、 ${x | 1 < x < 2}$ C、 ${x | 1 \leq x < 2}$ D、 ${x | 0 \leq x < 2}$

查看试题解析
2. 已知直线 $m x + 2 y + 3 = 0$ 与直线 $3 x + (m - 1) y + m = 0$ 平行，则实数m=（）

A、-2 B、3 C、5 D、-2或3

查看试题解析
3. 第24届冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕．为保证冬奥会顺利进行，组委会需要提前把各项工作安排好．现要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服务，每天一人，甲两天，乙三天，丙和丁各一天，则不同的安排方法有（）

A、840种 B、140种 C、420种 D、210种

查看试题解析
4. ${(2 x - 1)}^{5}$ 的二项展开式中第4项的系数为（）

A、-80 B、-40 C、40 D、80

查看试题解析
5. 函数 $y = 2 s i n (x c o s x)$ 的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
6. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）

A、3盏 B、7盏 C、9盏 D、11盏

查看试题解析
7. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右顶点为A，若以点A为圆心，以b为半径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且 $\vec{O M} = 2 \vec{O N}$ ，则C的离心率为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{6}{2}$

查看试题解析
8. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E是侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 内的动点，且 $B_{1} E / /$ 平面 $B D C_{1}$ ，则直线 $B_{1} E$ 与直线AB所成角的正弦值的最小值是 $($ $)$

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

查看试题解析

二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (1 - x) (a > 0 ， a \neq 1)$ ，下列关于 $f (x)$ 的说法正确的是（）

A、定义域是 $(- \infty ， 1)$ B、值域是 $R$ C、图象恒过定点 D、当 $a > 1$ 时，在定义域上是增函数

查看试题解析
10. 古代中国的太极八卦图是以圆内的圆心为界，画出相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．图2（正八边形ABCDEFGH）是由图1（八卦模型图）抽象而得到，并建立如图2的平面直角坐标系，设 $O A = 1$ ，则下列正确的结论是（）

A、 $\vec{O A} \cdot \vec{O D} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、以射线OF为终边的角的集合可以表示为 ${α | α = \frac{5 π}{4} + 2 k π ， k \in Z}$ C、点O为圆心、OA为半径的圆中，弦AB所对的劣弧弧长为 $\frac{π}{4}$ D、正八边形ABCDEFGH的面积为 $4 \sqrt{2}$

查看试题解析
11. 已知圆 $O$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，过第一象限内的点 $P (a ， b)$ 作圆 $O$ 的两条切线 $P A$ 、 $P B$ ，切点分别为 $A$ 、 $B$ ，下列结论中正确的有（）

A、直线 $A B$ 的方程为 $a x + b y - 1 = 0$ B、四点 $O$ 、 $A$ 、 $P$ 、 $B$ 共圆 C、若 $P$ 在直线 $3 x + 4 y - 10 = 0$ 上，则四边形 $O A P B$ 的面积有最小值2 D、若 $\vec{P O} \cdot \vec{P A} = 8$ ，则 $a + b$ 的最大值为 $3 \sqrt{2}$

查看试题解析
12. 对函数 $f (x) = \frac{s i n x}{e^{x} - e^{- x}}$ 进行研究后，得出以下结论，其中正确的有（）

A、函数 $y = f (x)$ 的图象关于y轴对称 B、 $| f (x) | < 1$ C、函数 $y = f (x)$ 的图象与 $x$ 轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等 D、对任意常数 $m > 0$ ，存在常数 $b > a > m$ ，使函数 $y = f (x)$ 在 $[a ， b]$ 上单调递减，且 $b - a \geq 1$

查看试题解析

三、填空题

13. 已知复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = 1 + i$ ，那么 $z =$ .

查看试题解析
14. 抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线截圆 $x^{2} + y^{2} - 2 y - 1 = 0$ 所得弦长为2，则抛物线的焦点坐标为．

查看试题解析
15. 已知函数 $y = f (x)$ 在 $R$ 上的图象是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，当 $x > 0$ 时，有不等式 $x^{2} f^{'} (x) > - 2 x f (x)$ 成立，若对 $\forall x \in R$ ，不等式 $e^{2 x} f (e^{x}) - a^{2} x^{2} f (a x) > 0$ 恒成立，则正整数 $a$ 的最大值为.

查看试题解析
16. 数列 ${a_{n}}$ 的前项n和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} = - \frac{1}{2}$ ，且 $a_{n} + a_{n + 1} = \frac{2}{n^{2} + 2 n} (n \in N^{*})$ ，则 $S_{2 n} =$ ．

查看试题解析

四、解答题

17. 良好的体育锻炼习惯，对学生的学习和生活都非常有益.某校为了解学生的课外体育锻炼时间情况，在全体学生中随机抽取了200名学生进行调查，并将数据分成六组，得到如图所示的频率分布直方图.将平均每天课外体育锻炼时间在 $[40 ， 60)$ 上的学生评价为锻炼达标，将平均每天课外体育锻炼时间在 $[0 ， 40)$ 上的学生评价为锻炼不达标.

(1)、估计这200名学生每天课外体育锻炼时间的中位数与平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(2)、在上述锻炼达标的学生中按分层抽样的方法抽取8名，再从这8名同学中随机抽取2名，求这两名同学中至少有一名每天体育锻炼时间在 $[50 ， 60)$ 的概率.

查看试题解析
18. 已知 $f (x) = \sqrt{3} s i n \frac{x}{2} c o s \frac{x}{2} + c o s^{2} \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

(1)、求函数 $f (x)$ 的对称中心和单调增区间；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象上的各点_________得到函数 $y = g (x)$ 的图象，当 $x \in [- \frac{π}{6} ， \frac{π}{4}]$ 时，方程 $g (x) = a$ 有解，求实数a的取值范围．
在以下①、②中选择一个，补在（2）的横线上，并加以解答，如果①、②都做，则按①给分．

①向左平移 $\frac{3 π}{2}$ 个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半；②纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的一半，再向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位．

查看试题解析
19. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为正数， $a_{1} = 1$ ，其前n项和为 $S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 为等比数列， $b_{1} = 2$ ，且 $b_{2} S_{2} = 12$ ， $b_{2} + S_{3} = 10$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n} \cdot b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

查看试题解析
20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D ，$ $∠ A B C = ∠ B A D = 90 ° ，$ $A D = A P = 4 ， A B = B C = 2$ ， $M ， N$ 为线段 $P C ， A D$ 上一点不在端点.

(1)、当 $M$ 为中点时， $A N = \frac{1}{4} A D$ ，求证： $M N ∥$ 面 $P B A$

(2)、当 $N$ 为 $A D$ 中点时，是否存在 $M$ ，使得直线 $M N$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，若存在求出M的坐标，若不存在，说明理由.

查看试题解析
21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，圆 $x^{2} + (y - b)^{2} = 1$ 与 $x$ 轴相切， $O$ 为坐标原点.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设椭圆 $C$ 的右焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A ， B$ 两点，是否存在直线 $l$ 使 $△ O A B$ 的面积为 $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$ ？若存在，求出直线 $l$ 的方程；若不存在，请说明理由.

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = l n x - x + 1$ ， $x \in (0 ， + \infty)$ ， $g (x) = x^{3} - a x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若对 $\forall x_{1} \in (0 ， + \infty)$ ，总存在 $x_{2} \in [1 ， 2]$ 使得 $f (x_{1}) \leq g (x_{2})$ 成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、证明不等式 ${(\frac{1}{n})}^{n} + {(\frac{2}{n})}^{n} + \cdot \cdot \cdot + {(\frac{n}{n})}^{n} < \frac{e}{e - 1}$ .

查看试题解析