浙江省北斗联盟2021-2022学年高二下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-06-20 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | l g x < 1} ， B = {x | x < 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- \infty ， 2)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $(1 ， 10)$

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2. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} ， x \leq 0 ， \\ l o g_{\frac{1}{2}} x ， x > 0 ， \end{array}$ 则 $f (f (- 2)) =$ （）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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3. 在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界．从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则春分的日影长为（）

A、9.5 尺 B、10.5 尺 C、11.5 尺 D、12.5 尺

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4. 如图，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF₂交椭圆于另一点B，若∠F₁AB＝90°，则此椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5. 下列图象中，函数 $f (x) = (e^{x} - e^{- x}) s i n x$ ， $x \in [- π ， π]$ 图象的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 4 | \vec{b} |$ ，且 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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7. 阿波罗尼斯 $($ 约公元前262-190年 $)$ 证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 $k (k > 0$ 且 $k \neq 1)$ 的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比满足： $| P A | = \sqrt{3} | P B |$ ，当P、A、B三点不共线时， $△ P A B$ 面积的最大值是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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8. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{^{'}} (x)$ ，且满足 $f^{'} (x) - f (x) > 0$ ， $f (2021) = e^{2021}$ ，则不等式 $f (\frac{1}{3} l n x) < \sqrt[3]{x}$ 的解集为（）

A、 $(e^{6063} ， + \infty)$ B、 $(0 ， e^{2021})$ C、 $(e^{2021} ， + \infty)$ D、 $(0 ， e^{6063})$

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二、多选题

9. 甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，这些小球除颜色外完全相同.从甲、乙两袋中各任取1个球，则下列结论正确的是（）

A、2个球颜色相同的概率为 $\frac{1}{2}$ B、2个球不都是红球的概率为 $\frac{1}{3}$ C、至少有1个红球的概率为 $\frac{2}{3}$ D、2个球中恰有1个红球的概率为 $\frac{1}{2}$

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10. 若数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = - a_{n} + 1 (n \in N^{*})$ ，则（）

A、 $a_{1} = \frac{1}{2}$ B、 $S_{3} = \frac{9}{8}$ C、数列 ${a_{n}}$ 是等比数列 D、 $S_{n + 1} = \frac{1}{2} S_{n}$

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11. 已知函数 $f (x) = x + 2 t a n x$ ，其导函数为 $f^{^{'}} (x)$ ，设 $g (x) = f^{^{'}} (x) c o s x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 的图象关于原点对称 C、 $g (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上的最小值为 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 π$ 是 $g (x)$ 的一个周期

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12. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2 A D = 2 A A_{1} = 2$ ，点P满足 $\vec{A_{1} P} = x \vec{A_{1} D_{1}} + y \vec{A_{1} A} + z \vec{A_{1} B_{1}}$ ， $x \in (0 ， 1]$ ， $y \in (0 ， 1]$ ， $z \in (0 ， 1]$ ，则下列结论正确的有（）

A、当 $x = y = z$ 时， $A_{1} P ⊥ B D$ B、当 $x + y + z = 1$ 时， $D_{1} P //$ 平面 $B D C_{1}$ C、当 $x = \frac{1}{2}$ ， $y = z$ 时，三棱锥 $C - D P D_{1}$ 的体积为定值 D、当 $x + y = 1$ ， $y = z$ 时， $D_{1} P$ 与平面 $A_{1} D_{1} D A$ 所成角的正切值为 $\sqrt{2}$

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三、填空题

13. 已知复数z满足 $(2 - i) z = 1 + i$ ， $i$ 为虚数单位，则复数 $z =$

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14. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点到它的一条渐近线的距离为4，且焦距为10，则该双曲线的渐近线方程为.

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15. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为．

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16. 已知函数 $f (x) = | \ln (x + 1) - 1 |$ ，若 $a > b$ 且 $f (a) = f (b)$ ，则 $a + b$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ .已知 $a > b$ ， $a = 5 ， c = 6$ ， $\sin B = \frac{3}{5}$ .
（Ⅰ）求 $b$ 和 $\sin A$ 的值；

（Ⅱ）求 $\sin (2 A + \frac{π}{4})$ 的值.

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18. 2021年3月18日，位于孝感市孝南区长兴工业园内的湖北福益康医疗科技有限公司正式落地投产，这是孝感市第一家获批的具有省级医疗器械生产许可证资质的企业，也是我市首家“一次性使用医用口罩、医用外科口罩”生产企业.在暑期新冠肺炎疫情反弹期间，该公司加班加点生产口罩、防护服，消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在社会上赢得一片赞誉．在加大生产的同时，该公司狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组： $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， …， $[90 ， 100]$ ，得到如下频率分布直方图．

(1)、求出直方图中m的值；

(2)、利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到 $0.01$ ）；

(3)、现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，其中一等品的概率是多少．

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ -中， $∠ B A C = 9 0^{∘}$ ， $A B = A C = 2$ ， $A_{1} A = 4$ ， $A_{1}$ 在底面 $A B C$ 的射影为 $B C$ 的中点， $D$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $A_{1}$ D $⊥$ 平面 $A_{1} B C$ ；

(2)、求二面角 $A_{1}$ -BD- $B_{1}$ 的平面角的余弦值.

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20. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，过F且斜率为 $\frac{4}{3}$ 的直线 $l$ 与抛物线C交于A，B两点，B在 $x$ 轴的上方，且点B的横坐标为4.

(1)、求抛物线C的标准方程；

(2)、设点 $P$ 为抛物线 $C$ 上异于 $A$ ， $B$ 的点，直线 $P A$ 与 $P B$ 分别交抛物线C的准线于E， $G$ 两点， $x$ 轴与准线的交点为 $H$ ，求证： $H G \cdot H E$ 为定值，并求出定值.

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21. 已知函数 $f (x) = a l n x + b x$ 的图象在点 $(1 ， - 3)$ 处的切线方程为 $y = - 2 x - 1$ .

(1)、若对任意 $x \in [\frac{1}{3} ， + \infty)$ 有 $f (x) ⩽ m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + x^{2} + k + 2$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 内有3个零点，求实数 $k$ 的范围.

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22. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， ${b_{n}}$ 为等比数列， $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $a_{5} = 5 (a_{4} - a_{3})$ ， $b_{5} = 4 (b_{4} - b_{3})$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} S_{n + 2} < S_{n + 1}^{2} (n \in N^{*})$ ；

(3)、对任意的正整数 $n$ ，设 $c_{n} = {\begin{array}{l} \begin{array}{l} \frac{b_{n}}{(b_{n} + 1) (b_{n + 2} + 1)} & ， n 为奇数 \end{array} \\ \begin{array}{l} \frac{a_{n - 1}}{b_{n + 1}} & {^{}}^{}^{} ， n 为偶数 \end{array} \end{array}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和．

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