2012年高考理数真题试卷（湖南卷）

试卷更新日期：2016-09-23 类型：高考真卷

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一、选择题

1. 设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x²≤x}，则M∩N=（）

A、{0} B、{0，1} C、{﹣1，1} D、{﹣1，0，1}

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2. 命题“若α= $\frac{π}{4}$ ，则tanα=1”的逆否命题是（）

A、若α≠ $\frac{π}{4}$ ，则tanα≠1 B、若α= $\frac{π}{4}$ ，则tanα≠1 C、若tanα≠1，则α≠ $\frac{π}{4}$ D、若tanα≠1，则α= $\frac{π}{4}$

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3.
某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x_i ， y_i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为 $\hat{y}$ =0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）

A、y与x具有正的线性相关关系 B、回归直线过样本点的中心（ $\bar{x}$ ， $\bar{y}$ ） C、若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D、若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg

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5. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{20} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{20} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{80} - \frac{y^{2}}{20} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{20} - \frac{y^{2}}{80} = 1$

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6. 函数f（x）=sinx﹣cos（x+ $\frac{π}{6}$ ）的值域为（）

A、[﹣2，2] B、[﹣ $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{3}$ ] C、[﹣1，1] D、[﹣ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ]

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7. 在△ABC中，AB=2，AC=3， $\vec{A B}$ • $\vec{B C}$ =1，则BC=（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{7}$ C、2 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{23}$

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8. 已知两条直线l₁：y=m和l₂：y= $\frac{8}{2 m + 1}$ （m＞0），l₁与函数y=|log₂x|的图象从左至右相交于点A，B，l₂与函数y=|log₂x|的图象从左至右相交于点C，D．记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时， $\frac{b}{a}$ 的最小值为（）

A、16 $\sqrt{2}$ B、8 $\sqrt{2}$ C、8 $\sqrt[3]{4}$ D、4 $\sqrt[3]{4}$

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二、填空题

9. 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C₁： ${\begin{matrix} x = t + 1 \\ y = 1 - 2 t \end{matrix}$ （t为参数）与曲线C₂： ${\begin{matrix} x = a \sin θ \\ y = 3 \cos θ \end{matrix}$ （θ为参数，a＞0 ）有一个公共点在X轴上，则a等于．

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10. 不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为．

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11.
如图，过点P的直线与圆⊙O相交于A，B两点．若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O的半径等于．

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12. 已知复数z=（3+i）²（i为虚数单位），则|z|= ．

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13. （ $2 \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$ ）⁶的二项展开式中的常数项为（用数字作答）．

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14.
如果执行如图所示的程序框图，输入x=﹣1，n=3，则输出的数S=

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15.
函数f（x）=sin（ωx+φ）的导函数y=f′（x）的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．
（1）若φ= $\frac{π}{6}$ ，点P的坐标为（0， $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ），则ω=；
（2）若在曲线段 $\hat{A B C}$ 与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为．

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16. 设N=2ⁿ（n∈N^* ， n≥2），将N个数x₁ ， x₂ ， …，x_N依次放入编号为1，2，…，N的N个位置，得到排列P₀=x₁x₂…x_N ．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前 $\frac{N}{2}$ 和后 $\frac{N}{2}$ 个位置，得到排列P₁=x₁x₃…x_N_﹣₁x₂x₄…x_N ，将此操作称为C变换，将P₁分成两段，每段 $\frac{N}{2}$ 个数，并对每段作C变换，得到P₂ ，当2≤i≤n﹣2时，将P_i分成2ⁱ段，每段 $\frac{N}{2^{i}}$ 个数，并对每段作C变换，得到P_i+1 ，例如，当N=8时，P₂=x₁x₅x₃x₇x₂x₆x₄x₈ ，此时x₇位于P₂中的第4个位置．
（1）当N=16时，x₇位于P₂中的第个位置；
（2）当N=2ⁿ（n≥8）时，x₁₇₃位于P₄中的第个位置．

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三、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
一次性购物量
1至4件
5 至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数（人）
x
30
25
y
10
结算时间（分钟/人）
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%．

(1)、确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；

(2)、若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．（注：将频率视为概率）

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18.
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点．

(1)、证明：CD⊥平面PAE；

(2)、若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P﹣ABCD的体积．

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19. 已知数列{a_n}的各项均为正数，记A（n）=a₁+a₂+…+a_n ， B（n）=a₂+a₃+…+a_n+1 ， C（n）=a₃+a₄+…+a_n+2 ， n=1，2，…．

(1)、若a₁=1，a₂=5，且对任意n∈N^* ，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{a_n}的通项公式．

(2)、证明：数列{a_n}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N^* ，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列．

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20. 某企业接到生产3000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）．已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为K（K为正整数）．

(1)、设生产A部件的人数为x，分别写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间；

(2)、假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数K的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．

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21. 在直角坐标系xOy中，曲线C₁上的点均在C₂：（x﹣5）²+y²=9外，且对C₁上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C₂上点的距离的最小值．

(1)、求曲线C₁的方程

(2)、设P（x₀ ， y₀）（y₀≠±3）为圆C₂外一点，过P作圆C₂的两条切线，分别于曲线C₁相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．

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22. 已知函数f（x）=e^ax﹣x，其中a≠0．

(1)、若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合．

(2)、在函数f（x）的图象上取定两点A（x₁ ， f（x₁）），B（x₂ ， f（x₂）（x₁＜x₂），记直线AB的斜率为K，问：是否存在x₀∈（x₁ ， x₂），使f′（x₀）＞k成立？若存在，求x₀的取值范围；若不存在，请说明理由．

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一次性购物量	1至4件	5 至8件	9至12件	13至16件	17件及以上
顾客数（人）	x	30	25	y	10
结算时间（分钟/人）	1	1.5	2	2.5	3