浙江省A9协作体2021-2022学年高二下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-06-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 0 < x \leq 2}$ ， $B = {0 ， 1}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 ${x | 0 < x < 1}$ B、 ${x | 0 \leq x \leq 1}$ C、 ${x | 0 < x \leq 2}$ D、 ${x | 0 \leq x \leq 2}$

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2. 已知命题 $P$ ： $\exists x \in Z$ ， $x^{3} + 1 < 0$ ，则命题 $P$ 的否定是（）

A、 $\forall x \in Z$ ， $x^{3} + 1 \geq 0$ B、 $\forall x \notin Z$ ， $x^{3} + 1 \geq 0$ C、 $\exists x \in Z$ ， $x^{3} + 1 \geq 0$ D、 $\forall x \in Z$ ， $x^{3} + 1 < 0$

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3. 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，若 $P (X < - 1) = P (X > 5)$ ，则 $μ =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、3

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4. 已知 $a$ ， $b$ 是实数，则“ $a + b < a b + 1$ ”是“ $a < 1$ 且 $b < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知函数 $f (x) = 2 x^{2} + b x + c (b ， c \in R)$ ，若 $\underset{△ x \to 0}{l i m} \frac{f (b + △ x) - f (b)}{△ x} = 15$ ，则 $b =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 一个盒子里装了10支外形相同的水笔，其中有8支黑色水笔，2支红色水笔，从中任意抽取两支，则抽到一支黑笔的条件下，另一支是红笔的概率为（）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $\frac{4}{11}$ C、 $\frac{16}{45}$ D、 $\frac{7}{18}$

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7. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a ， b ， c \in R)$ ，若 $x = 1$ 是函数 $e^{- x} f (x)$ 的一个极值点，则下列图象不可能为 $y = f (x)$ 图象的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，用五种不同的颜色给图中的O，A，B，C，D，E六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（）

A、480 B、720 C、1080 D、1200

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二、多选题

9. 已知 $\frac{1}{b} < \frac{1}{a} < 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a > b$ B、 $\frac{1}{a + b} < \frac{1}{a b}$ C、 $| a | + b > 0$ D、 $b - \frac{1}{b} > a - \frac{1}{a}$

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10. 已知随机变量 $ξ$ ， $η$ 满足 $2 ξ + η = 5$ ，且 $ξ ~ B (10 ， 0.2)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $P (ξ = 4) = P (ξ = 6)$ B、 $E (η) = 1$ C、 $D (η) = 0.64$ D、 $D [ξ - E (ξ)] = 1.6$

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11. 已知二项式 ${(x - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中所有项的二项式系数和为256，则下列说法正确的是（）

A、二项式系数最大的项为第5项 B、所有项的系数和为1 C、系数绝对值最大的项是第6项 D、有理项共4项.

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} a x^{2} + a x$ ，则下面说法正确的是（）

A、存在实数 $a$ ，使 $f (x)$ 有最小值且最小值小于0 B、对任意实数 $a$ ， $f (x)$ 有最小值且最小值不小于0 C、存在正实数 $a$ 和实数 $x_{0}$ ，使 $f (x)$ 在 $(- \infty ， x_{0})$ 上递减，在 $(x_{0} ， + \infty)$ 上递增 D、对任意负实数 $a$ ，存在实数 $x_{0}$ ，使 $f (x)$ 在 $(- \infty ， x_{0})$ 上递减，在 $(x_{0} ， + \infty)$ 上递增

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = x^{3} - 27 x$ 的极小值点为

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14. 某校组织全体学生进行了视力检测，其中高一、高二、高三年级参加检测的学生各有600、700、700人，近视率分别为60%，50%，70%，则从该校任选一名学生，该生是近视的概率为.

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15. 已知随机变量 $X$ 的分布列为：
$X$
$m$
$n$
$P$
$\frac{1}{3}$
$a$
其中 $m > 0$ ， $n > 0$ ，若 $E (X) = 1$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为.

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16. 已知函数 $f (x) = {(x - t)}^{2} + {(3 l n x - 3 t)}^{2}$ ，其中 $t \in R$ ，若存在 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) \leq \frac{9}{10}$ 成立，则实数 $\frac{x_{0}}{t}$ 的值为.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | (x - a) (x - a - 2) \leq 0}$ ， $B = {x | x^{2} + x - 2 < 0}$ .

(1)、若 $a = 0$ ，求 $A ∩ (∁_{R} B)$ ；

(2)、若命题 $P$ ：“ $\forall x \in A$ ， $x \notin B$ ”是真命题，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x - 3 > 0 (a ， b \in R)$ .

(1)、若不等式的解集为 $(- 1 ， - \frac{3}{5})$ ，求实数 $a$ 、 $b$ 的值；

(2)、若 $b = a - 3$ ，求此不等式的解集.

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19. 已知二项式 ${(\sqrt[3]{x} + \frac{a + 1}{\sqrt{5 x}})}^{n}$ 的展开式中，第3项与第4项的二项式系数比为 $\frac{3}{8}$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求展开式中的常数项；

(2)、若展开式中含有 $x^{\frac{5}{3}}$ 项的系数不大于324，且 $a \in N *$ ，记 $a$ 的取值集合为A，求由集合A中元素构成的无重复数字的四位偶数的个数.

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{a}{x + 1} (a \in R)$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 的图象在点 $P (0 ， f (0))$ 处的切线 $l$ 与直线 $3 x - y - 6 = 0$ 平行，求切线 $l$ 的方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 为科学合理地做好小区管理工作，结合复工复产复市的实际需要，某小区物业提供了A，B两种小区管理方案，为了决定选取哪种方案为小区的最终管理方案，随机选取了4名物业人员进行投票，物业人员投票的规则如下：①单独投给A方案，则A方案得1分，B方案得-1分；②单独投给B方案，则B方案得1分，A方案得-1分；③弃权或同时投票给A，B方案，则两种方案均得0分.当前一名物业人员的投票结束，再安排下一名物业人员投票，当其中一种方案比另一种方案多4分或4名物业人员均已投票时，就停止投票，最后选取得分多的方案为小区的最终管理方案.假设A，B两种方案获得每一名物业人员投票的概率分别为 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{1}{2}$ .

(1)、在第一名物业人员投票结束后，A方案的得分记为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列；

(2)、求最终选取A方案为小区管理方案的概率.

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22. 已知函数 $f (x) = l n x - x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 的图象与 $y = m (m \in R)$ 的图象交于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，证明： $2 x_{1} + x_{2} > 4 - 2 l n 2$ .

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$X$	$m$	$n$
$P$	$\frac{1}{3}$	$a$