云南省昆明市嵩明县2021-2022学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-06-17 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 若集合 $A = {x | x > 1}$ ， $B = {x | x^{2} + 3 x > 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | x > 1}$ B、 ${x | x > 3}$ C、 ${x | x < 1}$ D、 ${x | x < - 3}$

查看试题解析
2. 复数 $z$ 满足 $(3 - 4 i^{2021}) \cdot z = 5 i^{2022}$ ，则 $z$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

查看试题解析
3. （x－ $\sqrt{2}$ y）¹⁰的展开式中x⁶y⁴项的系数是（）

A、840 B、－840 C、210 D、－210

查看试题解析
4. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{1} + a_{4} = 5$ ， $a_{8} = 8$ ，则 $S_{8}$ 为（）

A、8 B、32 C、36 D、72

查看试题解析
5. 已知 $| \vec{a} | = 1$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$ ， $| \vec{a} - \vec{b} | = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、30° B、45° C、60° D、120°

查看试题解析
6. 已知圆 $C$ 的半径为2，圆心在 $x$ 轴的正半轴上，直线 $3 x + 4 y + 4 = 0$ 与圆 $C$ 相切，则圆 $C$ 的方程为（）

A、 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ B、 ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 4$ C、 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 4$ D、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$

查看试题解析
7. 设函数 $f (x) = a x^{3} + 3 x^{2}$ ，其图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线 $l$ 与直线 $x - 3 y + 10 = 0$ 垂直，则直线 $l$ 与坐标轴围成的三角形的面积为（）

A、9 B、3 C、 $\frac{3}{2}$ D、1

查看试题解析
8. 从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为（）

A、432 B、288 C、216 D、108

查看试题解析
9. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (1 + x) + f (1 - x) = 0$ ，且 $f (- x) = f (x)$ ，当 $1 < x \leq 2$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，则 $f (2022) =$ （）

A、－1 B、－3 C、1 D、3

查看试题解析
10. 已知函数 $f (x) = s i n \frac{x}{2} + m c o s \frac{x}{2}$ 的图象过点 $(\frac{2 π}{3} ， \sqrt{3})$ ，且在区间 $[- a ， a] (a > 0)$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{π}{3}]$ B、 $(0 ， \frac{2 π}{3}]$ C、 $(0 ， \frac{4 π}{3}]$ D、 $(0 ， \frac{5 π}{3}]$

查看试题解析
11. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点．若 $P$ 为 $C$ 右支上的一点，且 $M$ 为线段 $F_{1} P$ 的中点， $F_{2} M ⊥ P F_{1}$ ， $| F_{2} M | = 2 a$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、2 D、 $\frac{7}{3}$

查看试题解析
12. 下列命题为真命题的个数是 $($ $)$
$① l n 3 < \sqrt{3} l n 2$ ； $② l n π < \sqrt{\frac{π}{e}}$ ； $③ 2^{\sqrt{15}} < 15$ ； $④ 3 e l n 2 < 4 \sqrt{2}$

A、1 B、2 C、3 D、4

查看试题解析

二、填空题

13. 已知过 $(- 2 ， 1)$ 的直线l与直线 $3 x - y + 1 = 0$ 没有公共点，则直线l的方程为．

查看试题解析
14. 若“ $m > a$ ”是“函数 $f (x) = (\frac{1}{3})^{x} + m - \frac{1}{3}$ 的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数 $a$ 能取的最大整数为.

查看试题解析
15. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的焦点 $F$ 到准线的距离为4，过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，若 $| P F | = 10$ ，则 $| P Q | + | Q F | =$ ．

查看试题解析
16. 半径为 $R$ 的球面上有A，B，C，D四点，且直线 $A B$ ， $A C$ ， $A D$ 两两垂直，若 $△ A B C$ ， $△ A C D$ ， $△ A D B$ 的面积之和为72，则此球体积的最小值为．

查看试题解析

三、解答题

17. 在① $\sqrt{3} b c o s A = a s i n B$ ；② $\sqrt{3} a s i n B = b (2 - c o s A)$ ；③ $c o s C = \frac{2 b - c}{2 a}$ 这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题：
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________且 $a = \sqrt{3}$ ， △ABC的面积为 $\frac{1}{2} a$ ，求△ABC的周长．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

查看试题解析
18. 某学校为了调查本校学生在一周内零食方面的支出情况，抽出了一个容量为 $n$ 的样本，分成四组 $[20 ， 30)$ ， $[30 ， 40)$ ， $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60]$ ，其频率分布直方图如图所示，其中支出金额在 $[50 ， 60]$ 元的学生有180人.

(1)、请求出 $n$ 的值；

(2)、如果采用分层抽样的方法从 $[30 ， 40)$ ， $[40 ， 50)$ 内共抽取5人，然后从中选取2人参加学校的座谈会，求在 $[30 ， 40)$ ， $[40 ， 50)$ 内正好各抽取一人的概率为多少.

查看试题解析
19. 已知 ${a_{n}}$ 为等比数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2^{n} + a$ （ $n \in N^{*}$ ）．

(1)、求 $a$ 的值及数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = n a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

查看试题解析
20. 如图，已知在平面四边形 $A B C P$ 中， $D$ 为 $P A$ 的中点， $P A ⊥ A B$ ， $C D ∥ A B$ ，且 $P A = C D = 2 A B = 2$ ．将此平面四边形 $A B C P$ 沿 $C D$ 折起，使平面 $P C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，连接 $P A$ 、PB．

(1)、求证：平面 $P B C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、设 $Q$ 为侧棱 $P C$ 的中点，求直线PB与平面 $Q B D$ 所成角的正弦值．

查看试题解析
21. 设椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且与直线 $y = x + \sqrt{7}$ 相切．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若在 $y$ 轴上的截距为2的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 分别交于A、B两点，O为坐标原点，且直线OA、OB的斜率之和等于12，求直线AB的方程．

查看试题解析
22. 设函数 $f (x) = \frac{a x}{e^{x}}$ ， $a \neq 0$ ， $a \in R$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = 1$ 且 $m \in (0 ， \ln 2)$ 时，函数 $F (x) = \frac{x (m + \ln x + \frac{1}{x})}{f (x)}$ $(x > 0)$ ，证明： $F (x)$ 存在极小值点 $x_{0}$ ，且 $m + \ln x_{0} < 0$ ．

查看试题解析