上海市静安区2022届高三下学期6月最后阶段水平模拟数学试题

试卷更新日期：2022-06-17 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 已知集合 $A = {y | y = 2^{x} ， x \geq 0}$ ， $B = {x | y = l n (2 - x)}$ ，则 $A ∩ B =$ ．

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2. 若复数 $z = \frac{2}{1 + i}$ ，则 $| z - i | =$ ．

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3. ${(x - 2 y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2} y^{3}$ 的系数是．（用数字作答）

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4. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $E$ 、 $F$ 分别为 $B C$ 、 $C C_{1}$ 的中点，则平面 $A E F$ 截正方体所得的截面面积为．

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5. 已知 $f (x)$ 为R上的奇函数，且 $f (x) + f (2 - x) = 0$ ，当 $- 1 < x < 0$ 时， $f (x) = 2^{x}$ ，则 $f (2 + l o g_{2} 5)$ 的值为．

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6. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两条渐近线均与圆 $C ： {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 4$ 相切，右焦点和圆心重合，则该双曲线的标准方程为．

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7. 已知 $s i n (α + \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $s i n 2 α$ 的值为．

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8. 在如今这个5G时代，6G研究己方兴末艾，2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办，会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式 $C = W l o g_{2} (1 + \frac{S}{N})$ 是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率 $C$ 取决于信道宽带 $W$ ，信道内信号的平均功率 $S$ ，信道内部的高斯噪声功率 $N$ 的大小，其中 $\frac{S}{N}$ 叫做信噪比．若不改变宽带 $W$ ，而将信噪比 $\frac{S}{N}$ 从11提升至499，则最大信息传递率 $C$ 会提升到原来的倍．（结果保留一位小数）

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9. 已知点 $F$ 为抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，点 $P$ 在抛物线上且横坐标为8， $O$ 为坐标原点，若 $△ O F P$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ ，则该抛物线的准线方程为．

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10. 设函数 $f_{0} (x) = | x |$ ， $f_{1} (x) = | f_{0} (x) - 1 |$ ， $f_{2} (x) = | f_{1} (x) - 2 |$ .则函数 $f_{2} (x)$ 的图像与x轴所围成图形中的封闭部分的面积是.

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11. 函数 $f (x)$ 是偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 2 x + 2^{x} - 1$ ，则不等式 $f (x) > 3$ 的解集为.

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12. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{5} = \frac{3 π}{8}$ ，设函数 $f (x) = (4 c o s^{2} \frac{x}{2} - 2) s i n x + c o s 2 x + 2$ ，记 $y_{n} = f (a_{n})$ ，则数列 ${y_{n}}$ 的前9项和为．

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二、单选题

13. 如图，△ABC是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中 $O^{'} C^{'} = O^{'} A^{'} = 2 O^{'} B^{'}$ ，则以下说法正确的是（）

A、△ABC是钝角三角形 B、△ABC是等边三角形 C、△ABC是等腰直角三角形 D、△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形

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14. 已知函数 $f (x) = | s i n x | + c o s x$ ，下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (x)$ 为非奇非偶函数 C、 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称

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15. 若向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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16. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱， $A B$ 是一条侧棱， $P_{i} (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 8)$ 是上底面上其余的八个点，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A P_{i}} (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 8)$ 的不同值的个数为（）．

A、1 B、2 C、4 D、8

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别 $a ， b ， c$ ， $c o s C s i n (A + \frac{π}{6}) - s i n C s i n (A - \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为4，面积为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $b$ .

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18. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A B = A D$ ， $O$ 为 $B D$ 的中点．

(1)、证明： $O A ⊥ C D$ ；

(2)、已知 $△ O C D$ 是边长为1的等边三角形，且三棱锥 $A - B C D$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ，若点 $E$ 在棱 $A D$ 上，且二面角 $E - B C - D$ 的大小为 $45 °$ ，求 $\frac{D E}{E A}$ ．

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19. 已知 ${a_{n}}$ 是公差为2的等差数列， $a_{1} > 0$ ，且 $a_{4}$ 是 $2 a_{2}$ 和 $a_{5} - 2$ 的等比中项．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足 $\frac{b_{1}}{a_{1}} + \frac{b_{2}}{a_{2}} + ⋯ + \frac{b_{n}}{a_{n}} = 2^{n + 1}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，上，下顶点分别为A，B，四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 的面积和周长分别为2和 $4 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若直线l： $y = k (x + 1)$ （ $k \neq 0$ ）与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中垂线交y轴于M点，且 $△ E M F$ 为直角三角形，求直线l的方程.

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21. 因函数 $y = x + \frac{t}{x} (t > 0)$ 的图像形状象对勾，我们称形如“ $y = x + \frac{t}{x} (t > 0)$ ”的函数为“对勾函数”．

(1)、证明对勾函数具有性质：在 $(0 ， \sqrt{t}]$ 上是减函数，在 $(\sqrt{t} ， + \infty)$ 上是增函数．

(2)、已知 $f (x) = 2 x + \frac{4}{2 x - 1} - 5$ ， $x \in [1 ， 3]$ ，利用上述性质，求函数 $f (x)$ 的单调区间和值域；

(3)、对于（2）中的函数 $f (x)$ 和函数 $g (x) = x^{2} - m x + 4$ ，若对任意 $x_{1} \in [1 ， 3]$ ，总存在 $x_{2} \in [1 ， 3]$ ，使得 $g (x_{2}) < f (x_{1})$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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