上海市黄浦区2022届高三下学期数学5月模拟试卷

试卷更新日期：2022-06-17 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 函数 $y = 1 - 2 c o s^{2} (2 x)$ 的最小正周期是.

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2. 若 $c o s α = - \frac{1}{4}$ ，则 $s i n (α + \frac{π}{2}) =$ .

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3. 不等式 $\frac{2 - x}{1 + x} > 0$ 的解集为.

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4. 若 $\overset{⇀}{n} = (2 ， 1)$ 是直线 $l$ 的一个方向向量，则 $l$ 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.

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5. 已知函数 $f (x)$ 为奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 a s i n \frac{π x}{2}$ ，若 $f (3) = 6$ ，则 $a =$ .

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6. 已知 $a > 0$ ，若 ${(\frac{a}{x} + \frac{x}{2})}^{9}$ 展开式中 $x^{5}$ 的系数为 $\frac{9}{2}$ ，则常数a的值为.

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7. 已知 $O A$ 为球O的半径，过 $O A$ 的中点M且垂直 $O A$ 的平面截球得到圆M，若圆M的面积为 $9 π$ ，则球O的体积为.

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8. 有3个兴趣小组，甲､乙两位同学各参加其中一个小组，且他们参加各个兴趣小组是等可能的，则甲､乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为．

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9. 若 $ω$ 为方程 $x^{3} = 2$ 的一个虚根，则方程 $x^{3} = 1$ 的一个虚根为.（用 $ω$ 表示）.

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10. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左焦点为F，若A､B是椭圆上两动点，且 $A B$ 垂直于x轴，则 $△ A B F$ 周长的最大值为.

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11. 已知 $a > 0$ ， $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x \geq 1 \\ x + y \leq 3 \\ y \geq a (x - 3) \end{array}$ ，若 $z = 2 x + y$ 的最小值为-1，则 $a =$ .

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12. 已知 $m \in N^{*}$ ，用非负整数 $n_{1}$ ､ $n_{2}$ ，表示 $m$ ， $m = n_{1} + \frac{n_{2}}{3}$ ，若 $A_{m}$ 为其表示方法的数组 $(n_{1} ， n_{2})$ 的个数，则 $A_{m} =$ .

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二、单选题

13. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ ， “ $\vec{a} = \vec{b} = \vec{0}$ ”是“ ${\vec{a}}^{2} + {\vec{b}}^{2} = 0$ ”的（）.

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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14. 已知圆 $C$ ： ${\begin{array}{l} x = - 2 + 5 c o s θ \\ y = 3 + 5 s i n θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数），与圆 $C$ 关于直线 $x + y = 0$ 对称的圆的普通方程是（）.

A、 $(x + 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 25$ B、 $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 25$ C、 $(x + 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 5$ D、 $(x + 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 5$

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15. 已知锐角 $△ A B C$ ，其外接圆半径为 $2$ ， $C = \frac{π}{3}$ ， $A B$ 边上的高的取值范围为（）.

A、 $(0 ， 3]$ B、 $(0 ， 3)$ C、 $(2 ， 3]$ D、 $(2 ， 3)$

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16. 若集合 $A = {n | \frac{1}{n} = 0 . \dot{a} \dot{b} ， n \in N^{*}}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是不同的数字，则A中所有元素的和为（）.

A、44 B、110 C、132 D、143

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三、解答题

17. 已知正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ .

(1)、G是 $△ B A^{'} C^{'}$ 的重心，求证：直线 $D G ⊥$ 平面 $B A^{'} C^{'}$ ；

(2)、若 $A B = 1$ ，动点E､F在线段 $A D$ ､ $D^{^{'}} C^{^{'}}$ 上，且 $D E = D^{'} F = a$ ， M为 $A B$ 的中点，异面直线 $E F$ 与 $D M$ 所成的角为 $a r c c o s \frac{\sqrt{2}}{10}$ ，求a的值.

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18. 已知函数 $f (x) = x ， g (x) = \sqrt{1 - 2 x}$ .

(1)、设 $g (x)$ 的反函数为 $g^{- 1} (x) ， F (x) = f (x) + g^{- 1} (x)$ ，求 $F (x)$ 的最值.

(2)、函数 $G (x)$ 满足 $G (x) = f (x) \cdot g (x)$ ，求证：当 $0 < x < \frac{1}{2}$ 时， $G (x) \leq G (\frac{1 - x}{2})$ .

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19. 一质点A从原点出发沿x轴的正向以定速度v前进，质点B从 $(0 ， - 2)$ 与A同时出发，且与质点A以大小相同的速度向某方向前进，A与B之间的最短距离为1.

(1)、求B的前进方向与x轴正向间的夹角 $θ$ ；

(2)、当A､B间距离最短时，求A､B的坐标.

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20. 有以下真命题：已知等差数列 ${a_{n}}$ ，公差为d，设 $a_{n_{1}} ， a_{n_{2}} ， ⋯ ， a_{n_{m}}$ 是数列 ${a_{n}}$ 中的任意m个项，若 $\frac{n_{1} + n_{2} + ⋯ + n_{m}}{m} = p + \frac{r}{m} (0 \leq r < m ， r \in N ， p 、 m \in N^{*})$ ①，则有 $\frac{a_{n_{1}} + a_{n_{2}} + ⋯ + a_{n_{m}}}{m} = a_{p} + \frac{r}{m} d$ ②.

(1)、当 $m = 2 ， r = 0$ 时，试写出与上述命题中的①，②两式相对应的等式；

(2)、若 ${a_{n}}$ 为等差数列， $a_{2} + a_{4} + a_{8} + a_{16} + a_{32} + a_{64} + a_{128} + a_{256} = 24$ ，且 $a_{63} = 6$ ，求 ${a_{n}}$ 的通项公式.

(3)、试将上述真命题推广到各项为正实数的等比数列中，写出相应的真命题，并加以证明.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{2 \sqrt{3}}{x}$ .

(1)、写出函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、求证：函数 $f (x)$ 的图像关于直线 $y = \sqrt{3} x$ 对称；

(3)、某同学经研究发现，函数 $f (x)$ 的图像为双曲线， $x = 0$ 和 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 为其两条渐进线，试求出其顶点､焦点的坐标，并利用双曲线的定义加以验证.

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