江苏省泰州市兴化市2022届高三下学期数学5月模拟试卷

试卷更新日期：2022-06-17 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | \frac{x - 2}{x + 1} \leq 0}$ ， $B = {x | y = l o g_{2} (2 - x)}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $[- 1 ， 2]$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(- 1 ， 2]$ D、 $(- \infty ， - 1)$

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2. 已知随机变量X服从正态分布 $N (6 ， σ)$ ，若 $P (X < 4) + 5 P (X > 8) = 1$ ，则 $P (4 < X < 6) =$ （）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{9}$

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3. ${(x^{2} - 3 x + 2)}^{5}$ 的展开式中， $x^{2}$ 项的系数为（）

A、400 B、480 C、720 D、800

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4. 《算数书》是已知最早的中国数学著作，于上世纪八十年代出土，大约比现有传本的《九章算术》还要早近二百年．《算数书》内容丰富，有学者称之为“中国数学史上的重大发现”．在《算数书》成书的时代，人们对圆周率的认识不多，用于计算的近似数与真实值相比误差较大．如书中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一．此术相当于给出了圆锥的体积V的计算公式为 $\frac{1}{36} L^{2} h$ ，其中L和h分别为圆锥的底面周长和高．这说明，该书的作者是将圆周率近似地取为（）

A、3.00 B、3.14 C、3.16 D、3.20

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5. 已知抛物线 $G ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，直线 $y = \frac{1}{2} x + 1$ 与C相交于A，B两点，则 $(| A F | - 1) (| B F | - 1)$ 的值为（）

A、2 B、4 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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6. 若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 互相垂直，且满足 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} - \vec{b}) = 2$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} |$ 的最小值为（）

A、-2 B、1 C、2 D、 $\sqrt{2}$

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7. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 2 x ， x \leq 0 \\ - x^{2} ， x > 0 \end{array}$ ，若 $f (f (a)) - f (a) + 2 = 0$ ，则实数a的值为（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $- \sqrt{2} - 1$ C、 $\sqrt{2} + 1$ D、 $- \sqrt{2} + 1$

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8. 若正实数a，b满足 $a + b = 1$ ，则函数 $f (x) = a b x^{2} + (3 b + 1) x - 36 a b$ 的零点的最大值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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二、多选题

9. 已知 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 均为复数，则下列结论中正确的有（）

A、若 $| z_{1} | = | z_{2} |$ ，则 $z_{1} = \pm z_{2}$ B、若 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ ，则 $z_{1} + z_{2}$ 是实数 C、 ${(z_{1} - z_{2})}^{2} = {| z_{1} - z_{2} |}^{2}$ D、若 $z_{1} + z_{2} = 0$ ，则 $z_{1} \bar{z_{2}}$ 是实数

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10. 已知函数 $f (x) = | s i n x | c o s x$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期是 $4 π$ B、 $f (x)$ 的值域是 $[- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2}]$ C、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4})$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 对称

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11. 某学校文化节举行歌唱比赛，分指定歌曲，自选歌曲两个单项比赛，每项比赛分预赛和决赛两个阶段．下表为10名同时参加两个单项比赛的选手的预赛成绩，其中有三个数据模糊．

选手序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
指定歌曲（单位：分）	9.6	9.4	9.1	8.8	8.5	8.4	8.2	7.8	7.7	6
自选歌曲（单位：分）	7.6	a	8.8	7.5	7.6	8.6	8.2	$a - 1$	b	7.9

在这10名选手中，进入指定歌曲决赛的有8人，同时进入指定歌曲和自选歌曲决赛的有6人，则下列判断一定正确的是（）

A、1号学生进入自选歌曲决赛 B、8号学生进入自选歌曲决赛 C、5号学生进入自选歌曲决赛 D、9号学生进入自选歌曲决赛

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $\frac{1}{a_{n + 1}} - \frac{1}{a_{n}} = a_{n} (n \in N^{*})$ ，前n项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $a_{n} > 1$ B、 $a_{2022} \geq \frac{1}{1012}$ C、 $a_{100} < \frac{2}{25}$ D、 $S_{n} \leq n$

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三、填空题

13. 从圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y + 1 = 0$ 外一点 $P (2 ， 3)$ 向圆引切线，则此切线的长为．

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14. 元宵节是我国的传统节日，又称上元节、元夕或灯节．赏花灯是元宵节的传统民俗活动．今年元宵节期间，某单位购买了宫灯、兽头灯、花卉灯三种类型的花灯，其中宫灯4个，兽头灯5个，花卉灯1个．现从中随机抽取4个花灯，则三种花灯各至少被抽取一个的概率为．

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15. 若 $θ = θ_{0}$ 时， $f (θ) = s i n 2 θ - c o s^{2} θ$ 取得最大值，则 $s i n (2 θ_{0} + \frac{π}{4}) =$ ．

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16. 某中学课外活动小组开展劳动实习，活动中需制造一个零件模型，该零件模型为四面体，设为 $A B C D$ ，要求 $A B = B C = C D = A D = 1 d m$ ．当 $A C = B D = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，此四面体外接球的表面积为 $d m^{2}$ ；当 $A C = B D$ 时，此四面体体积的最大值为 $d m^{3}$ ．

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四、解答题

17. 在锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $B C$ 边上的高等于a．

(1)、求证： $s i n A = s i n B s i n C$ ；

(2)、若 $∠ B A C = 45 °$ ，求 $\frac{c}{b} + \frac{b}{c}$ 的值．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的前n项和分别为 $S_{n}$ ， $T_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - 2$ ， $b_{n} = a_{n} l o g_{2} a_{n}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求证：当 $n \geq 2$ 时， $T_{n} \geq S_{n} + 4$ ．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $A P D$ 是正三角形，点E是 $P C$ 中点， $A B ⊥$ 平面 $P A D$ ， $A B ∥ C D$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} C D$ ．

(1)、求证： $B E ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求平面 $B P C$ 与平面 $A P D$ 所成二面角正弦值的大小．

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20. 党的十九届五中全会提出，要加快构建以国内大循环为主体、国内国际双循环相互促进的新发展格局．为适应新形势，满足国内市场需求，某对外零件加工企业积极转型，新建了A，B两个车间，加工同一型号的零件，质监部门随机抽检了两个车间的各100件零件，在抽取中的200件零件中，根据检测结果将它们分为“甲”、“乙”、“丙”三个等级，甲、乙等级都是合格品，在政策扶持下，都可销售出去，而丙等级是次品，必须销毁，具体统计结果如下表所示：
等级
甲
乙
丙
频数
20
120
60
（表一）

合格品
次品
合计
A
25
B
65
合计
（表二）
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$P (K^{2} \geq x_{0})$
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
$x_{0}$
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706

(1)、请根据所提供的数据，完成上面的 $2 \times 2$ 列联表（表二），并判断是否有95%的把握认为零件的合格率与生产车间有关？

(2)、每个零件的生产成本为30元，甲、乙等级零件的出厂单价分别为 $3 a$ 元、 $2 a$ 元（ $a > 15$ ）．另外已知每件次品的销毁费用为4元．若A车间抽检的零件中有10件为甲等级，用样本的频率估计概率，若A、B两车间都能盈利，求实数a的取值范围．

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21. 已知 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 是过点 $(0 ， 2)$ 的两条互相垂直的直线，且 $l_{1}$ 与椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 相交于A，B两点， $l_{2}$ 与椭圆 $Γ$ 相交于C，D两点．

(1)、求直线 $l_{1}$ 的斜率k的取值范围；

(2)、若线段 $A B$ ， $C D$ 的中点分别为M，N，证明直线 $M N$ 经过一个定点，并求出此定点的坐标．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} + b x - 1$ ，其中a，b为常数， $e$ 为自然对数底数， $e = 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，若函数 $f (x) \geq 0$ ，求实数b的取值范围；

(2)、当 $b = 2 a$ 时，若函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，现有如下三个命题：
① $7 x_{1} + b x_{2} > 28$ ；② $2 \sqrt{a} (x_{1} + x_{2}) > 3 x_{1} x_{2}$ ；③ $\sqrt{x_{1} - 1} + \sqrt{x_{2} - 1} > 2$ ；
请从①②③中任选一个进行证明．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

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$P (K^{2} \geq x_{0})$	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10
$x_{0}$	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706

等级	甲	乙	丙
频数	20	120	60

	合格品	次品	合计
A		25
B	65
合计