江苏省泰州市2022届高三下学期数学第四次调研测试试卷

试卷更新日期：2022-06-17 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数z满足 $(1 - i) z = 2 + 2 i$ ，则|z|＝（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、2 $\sqrt{2}$

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2. 已知全集 $U = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ，集合 $A = {0 ， 2 ， 4 ， 5}$ ，集合 $B = {2 ， 3 ， 4 ， 6}$ ，用如图所示的阴影部分表示的集合为（）

A、{2，4} B、{0，3，5，6} C、{0，2，3，4，5，6} D、{1，2，4}

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3. 足球训练中点球射门是队员练习的必修课，经统计，某足球队员踢向球门左侧时进球的概率为80%，踢向球门右侧时进球的概率为75%．若该球员进行点球射门时踢向球门左、右两侧的概率分别为60%、40%，则该球员点球射门进球的概率为（）

A、77% B、77.5% C、78% D、78.5%

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4. 已知 $t a n^{2} θ + \sqrt{3} t a n θ - 1 = 0$ ，则 $t a n 2 θ =$ （）

A、2 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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5. 已知直线 $l ： x + (a - 1) y + 2 = 0$ ， $l_{2} ： \sqrt{3} b x + y = 0$ ，且 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{13}{16}$

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6. 为庆祝神舟十三号飞船顺利返回，某校举行“特别能吃苦，特别能战斗，特别能攻关，特别能奉献”的航天精神演讲比赛，其冠军奖杯设计如下图，奖杯由一个半径为6cm的铜球和一个底座组成，底座由边长为36cm的正三角形铜片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成，则冠军奖杯的高度为（）cm．

A、 $6 + 9 \sqrt{3}$ B、 $6 + 12 \sqrt{3}$ C、 $9 + 9 \sqrt{3}$ D、 $9 + 18 \sqrt{3}$

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7. 已知双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线与双曲线E的两条渐近线分别交于M，N，若 $\vec{F_{1} M} = 2 \vec{M N}$ ，且 $∠ F_{1} N F_{2} = 9 0^{∘}$ ，则双曲线E的离心率为（）

A、 $\sqrt{14}$ B、4 C、 $\sqrt{34}$ D、6

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8. 已知定义在R上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (1 + x) = f (1 - x)$ ，已知当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = 2^{x} - a$ ，若 $f (x) = m | x - 1 |$ 恰有六个不相等的零点，则实数m的取值范围为（）

A、 $(\frac{1}{6} ， \frac{1}{4}) ∪ [- \frac{1}{2} ， - \frac{1}{6}]$ B、 $(\frac{1}{8} ， \frac{1}{4}) ∪ [- \frac{1}{2} ， \frac{1}{6}]$ C、 $(\frac{1}{6} ， \frac{1}{4}) ∪ {- \frac{1}{6}}$ D、 $(\frac{1}{8} ， \frac{1}{4}) ∪ {- \frac{1}{6}}$

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二、多选题

9. 为了解学生在网课期间的学习情况，某地教育部门对高三网课期间的教学效果进行了质量监测．已知该地甲、乙两校高三年级的学生人数分别为900、850，质量监测中甲、乙两校数学学科的考试成绩（考试成绩均为整数）分别服从正态分布 $N_{1}$ （108，25）、 $N_{2}$ （97，64），人数保留整数，则（）
参考数：若 $Z \sim N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (| Z - μ | < σ) \approx 0.6827$ ， $P (| Z - μ | < 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (| Z - μ | < 3 σ) \approx 0.9973$ .

A、从甲校高三年级任选一名学生，他的数学成绩大于113的概率约为0.15865 B、甲校数学成绩不超过103的人数少于140人 C、乙校数学成绩的分布比甲校数学成绩的分布更分散 D、乙校数学成绩低于113的比例比甲校数学成绩低于113的比例小

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10. 若 $(1 + x) + {(1 + x)}^{2} + ⋯ + {(1 + x)}^{2022} = a_{0} + a_{1} x + ⋯ + a_{2022} x^{2022}$ ，则（）

A、 $a_{0} = 2022$ B、 $a_{2} = C_{2023}^{3}$ C、 $\sum_{i = 1}^{2022} (- 1)^{i} a_{i} = - 1$ D、 $\sum_{i = 1}^{2022} (- 1)^{i - 1} i a_{i} = 1$

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11. 在正四面体A－BCD中， $A B = 3$ ，点O为 $△ A C D$ 的重心，过点O的截面平行于AB和CD，分别交BC，BD，AD，AC于E，F，G，H，则（）

A、四边形EFGH的周长为8 B、四边形EFGH的面积为2 C、直线AB和平面EFGH的距离为 $\sqrt{2}$ D、直线AC与平面EFGH所成的角为 $\frac{π}{4}$

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12. 若正整数m．n只有1为公约数，则称m，n互质，对于正整数k， $φ$ （k）是不大于k的正整数中与k互质的数的个数，函数 $φ$ （k）以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如： $φ (2) = 1$ ， $φ (3) = 2$ ， $φ (6) = 2$ ， $φ (8) = 4$ ．已知欧拉函数是积性函数，即如果m，n互质，那么 $φ (m n) = φ (m) φ (n)$ ，例如： $φ (6) = φ (2) φ (3)$ ，则（）

A、 $φ (5) = φ (8)$ B、数列 ${φ (2^{n})}$ 是等比数列 C、数列 ${φ (6^{n})}$ 不是递增数列 D、数列 ${\frac{1}{φ (6^{n})}}$ 的前n项和小于 $\frac{3}{5}$

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三、填空题

13. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，直线 $x - y - 1 = 0$ 被抛物线C截得的弦长为8，则抛物线C的准线方程为．

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14. 某射手每次射击击中目标的概率均为0.6，该名射手至少需要射击次才能使目标被击中的概率超过0.999，（参考数据： $l g 2 \approx 0.3010$ ， $l g 3 \approx 0.4771$ ）

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15. 已知等差数列{ $a_{n}$ }的前n项和是 $S_{n}$ ， $S_{18} > 0$ ， $S_{19} < 0$ ，则数列{| $a_{n}$ |}中值最小的项为第项．

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16. 平面向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = 1 ， | \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $6 0^{∘}$ ，且 $(\vec{c} - 2 \vec{a}) \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = 0$ 则 $| \vec{c} |$ 的最小值是．

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四、解答题

17. 在① $2 s i n B = t a n A c o s C + s i n C$ ， ② $s i n A = \sqrt{3} s i n \frac{A}{2}$ ， ③ $c o s 2 A + c o s A = 0$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题的解答．
已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，b＝1，c＝3，且____．
注：如果选择多个方案进行解答，则按第一个方案解答计分

(1)、求A；

(2)、若点D在边BC上，且 $B C = 3 B D$ ，求AD．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和是 $S_{n}$ ，且 $a_{n} + S_{n} = n (n \in N^{*})$

(1)、证明：数列 ${a_{n} - 1}$ 是等比数列；

(2)、求数列 ${n a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 手机用户可以通过微信查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的比较或点赞．现从小华的朋友圈内随机选取了100人，记录了他们某一天的行走步数，并将数据整理如下表：

0~2000
2001~5000
5001~8000
8001~10000
10001以上
男
5
8
12
12
13
女
10
12
13
6
9
若某人一天的行走步数超过8000则被评定为“积极型”，否则被评定为“懈怠型”．

(1)、根据题意完成下面的 $2 \times 2$ 列联表，并据此判断能否有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关；

积极型
懈怠型
总计
男
女
总计
附：
$P (x^{2} \geq x_{0})$
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
$x_{0}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
$x^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ；

(2)、在被评定为“积极型的对象中采用分层抽样的方法从样本中抽取8人，再从中随机抽取3人，求抽到女性“积极型”人数X的概率分布列和数学期望．

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20. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 1$ ， $C C_{1} = \sqrt{3}$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点， $E$ 为侧棱 $A A_{1}$ 上的点．

(1)、当 $E$ 为 $A A_{1}$ 的中点时，求证： $A D / /$ 平面 $B C_{1} E$ ；

(2)、若平面 $B C_{1} E$ 与平面 $A B C$ 所成的锐二面角为 $6 0^{∘}$ ，求 $A E$ 的长度．

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21. 已知椭圆 $Γ ：$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0$ ）的左焦点为F，其离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过点F垂直于x轴的直线交椭圆 $Γ$ 于P，Q两点， $| P Q | = \sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆 $Γ$ 的方程；

(2)、若椭圆的下顶点为B，过点D（2，0）的直线l与椭圆 $Γ$ 相交于两个不同的点M，N，直线BM，BN的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ，求 $k_{1} + k_{2}$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} (1 - \frac{1}{x}) (x > 0)$ ， $g (x) = \frac{a e^{x}}{x} - 2 l n x + l n a (a > 0)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、求证： $g (x)$ 存在极小值；

(3)、若 $g (x)$ 的最小值等于 $0$ ，求 $a$ 的值．

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	0~2000	2001~5000	5001~8000	8001~10000	10001以上
男	5	8	12	12	13
女	10	12	13	6	9

$P (x^{2} \geq x_{0})$	0.100	0.050	0.010	0.005	0.001
$x_{0}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

	积极型	懈怠型	总计
男
女
总计