江苏省苏州市八校2022届高三下学期数学高考适应性检测（三模）试卷

试卷更新日期：2022-06-17 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 $M$ ， $N$ 为R的两个不相等的非空子集，若 $M ∩ N = M$ ，则（）

A、 $M ∪ N = R$ B、 $M ∪ ∁_{R} N = R$ C、 $N ∪ ∁_{R} M = R$ D、 $∁_{R} M ∪ ∁_{R} N = R$

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2. 设随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (3 ， 4)$ ，若 $P (ξ < 2 a - 1) = P (ξ > a + 4)$ ，则 a 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、1 C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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3. 已知抛物线 $x^{2} = m y (m > 0)$ 上的点 $(x_{0} ， 2)$ 到该抛物线焦点F的距离为3，则 $m =$ （）

A、1 B、2 C、4 D、6

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4. 举世瞩目的第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20日在北京举办，某高校甲、乙、丙、丁、戊5位大学生志愿者前往A、B、C、D四个场馆服务，每一位志愿者只去一个场馆，每个场馆至少分配一位志愿者，由于工作需要甲同学和乙同学不能去同一场馆，则所有不同的安排方法种数为（）

A、216 B、180 C、108 D、72

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5. 《九章算术》卷第五《商功》中，有“贾令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺．”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺；下底面宽3尺，长4尺，高1尺．”（注：刍童为上下底面为相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体），若该几何体所有顶点在一球体的表面上，则该球体的体积为（）立方尺

A、 $\frac{\sqrt{41}}{3} π$ B、41π C、 $\frac{41 \sqrt{41}}{6} π$ D、 $3 \sqrt{41} π$

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6. 若 $X \cdot (1 + \sqrt{3} t a n 10 °) = 1$ ，则X可以为（）

A、 $s i n 20 °$ B、 $s i n 40 °$ C、 $c o s 20 °$ D、 $c o s 40 °$

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7. 在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{3}$ ，点D在线段AB上，点E在线段 $A C$ 上，且满足 $2 A D = D B = 2 ， A E = E C = 2$ ， $C D$ 交 $B E$ 于F，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{A F} \cdot \vec{B C} =$ （）

A、 $\frac{6}{5}$ B、 $\frac{17}{5}$ C、 $\frac{29}{5}$ D、 $\frac{32}{5}$

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8. 若x， $y \in (0 ， + \infty)$ ， $x + l n x = e^{y} + s i n y$ ，则（）

A、 $l n (x - y) < 0$ B、 $l n (y - x) > 0$ C、 $x < e^{y}$ D、 $y < l n x$

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二、多选题

9. 从甲袋中摸出一个红球的概率是 $\frac{1}{3}$ ，从乙袋中摸出一个红球的概率 $\frac{1}{2}$ ，从两袋各摸出一个球，则（）

A、2个球都是红球的概率为 $\frac{1}{6}$ B、2个球中恰有1个红球的概率为 $\frac{1}{2}$ C、2个球至多有一个红球的概率为 $\frac{2}{3}$ D、2个球中至少有1个红球的概率为 $\frac{5}{6}$

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10. 下列命题正确的是（）

A、若A，B，C为任意集合，则 $(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)$ B、若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 为任意向量，则 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ C、若 $Z_{1}$ ， $Z_{2}$ ， $Z_{3}$ 为任意复数，则 $(Z_{1} \cdot Z_{1}) \cdot Z_{3} = Z_{1} \cdot (Z_{2} \cdot Z_{3})$ D、若A，B，C为任意事件，则 $P ((A ∪ B) ∩ C) = P (A ∩ C) + P (B ∩ C)$

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11. 已知函数 $f (x) = e^{s i n | x | - | c o s x |}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是周期函数 B、 $f (x)$ 是偶函数 C、 $f (x)$ 是 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上的增函数 D、 $f (x)$ 的最小值为 $e^{- 1}$

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12. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P满足 $\vec{D P} = λ {\vec{D D}}_{1} + μ \vec{D A}$ ， $λ \in [0 ， 1]$ ， $u \in [0 ， 1]$ ，则（）

A、当 $λ = μ$ 时， $B P ⊥ A C_{1}$ B、当 $μ = \frac{1}{2}$ 时，三棱锥 $C_{1} - P B_{1} C$ 的体积为定值 C、当 $λ + μ = 1$ 时， $P C + P B$ 的最小值为 $\sqrt{3 + \sqrt{3}}$ D、当 $λ^{2} + μ^{2} = 1$ 时，存在唯一的点P，使得点P到AB的距离等于到 $D D_{1}$ 的距离

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三、填空题

13. 已知点P是圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上任意一点，则 $\frac{y}{x - 2}$ 的取值范围为．

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14. 已知 $x^{5} = a_{0} + a_{1} (1 + x) + a_{2} (1 + x)^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{5} (1 + x)^{5}$ ，则 $a_{1} =$ ．

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15. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \sqrt{2}$ ， $a_{n + 2} + (- 1)^{n} a_{n} = s i n \frac{n}{4} π$ ，则 ${a_{n}}$ 前40项和为．

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16. 任何一个复数 $z = a + b i$ （其中a、 $b \in R$ ， i为虚数单位）都可以表示成： $z = r (c o s θ + i s i n θ)$ 的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现： $z^{n} = {[r (c o s θ + i s i n θ)]}^{n} = r^{n} (c o s n θ + i s i n n θ) (n \in N^{*})$ ，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，若 $r = 1$ ， $θ = \frac{π}{4}$ 时，则 $z^{2022} =$ ；对于 $\forall n \in N^{*} ， n \geq 2$ ， $\sum_{k = 2}^{n} [c o s \frac{(k - 1) π}{n} + s i n \frac{(k - 1) π}{n}] =$ ．

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四、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{4} = 4 S_{2}$ ， $a_{2 n} = 2 a_{n} + 1 (n \in N *)$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = 3^{n - 1}$ ，令 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 在四边形 $A B C D$ 中， $A D = C D = B D = 1$ ， $\vec{C B} = \vec{C A} + (λ - 1) \vec{D C}$ ，其中 $λ \neq 1$ ．

(1)、若 $λ = \frac{5}{2}$ ，求BC；

(2)、若 $A B = 2 B C$ ，求 $s i n ∠ A D C$ ．

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19. 在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = 8$ ， $B C = 6$ ， $A C ⊥ B C$ ，点 $H$ 在棱 $A C$ 上，且满足 $B_{1} H ⊥ A C$ ， $C H = 3$ ， $B_{1} H = 3 \sqrt{3}$ ， $∠ B_{1} B C = 45 °$ ．

(1)、求证： $B_{1} C_{1} ⊥$ 平面 $A B_{1} C$ ；

(2)、求 $B_{1} C$ 与平面 $A A_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值．

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20. 某工厂采购了一批新的生产设备．经统计，设备正常状态下，生产的产品正品率为0.98．监控设备生产过程，检验员每天从该设备生产的产品中随机抽取10件产品，并检测质量．规定：抽检的10件产品中，若出现的次品数大于等于2，则认为设备生产过程出现了异常情况，需对设备进行检测及修理．

(1)、假设设备正常状态，记X表示一天内抽取的10件产品中的次品件数，求 $P (X ≥ 2)$ ；

(2)、该设备由甲、乙、丙三个部件构成，若出现两个或三个部件同时出现故障，则设备停止运转；若只有一个部件出现故障，则设备出现异常．已知设备出现异常是由甲部件故障造成的概率为 $\frac{1}{2}$ ，由乙部件故障造成的概率为 $\frac{1}{3}$ ，由丙部件故障造成的概率为 $\frac{1}{6}$ ．若设备出现异常，需先检测其中一个部件，如果确认该部件出现故障，则进行修理，否则，继续对另一部件进行检测及修理，如果已经检测两个部件未出现故障，则第三个部件无需检测，直接修理．已知甲部件的检测费用1000元，修理费用5000元，乙部件的检测费用2000元，修理费用4000元，丙部件的检测费用2400元，修理费用3600元．当设备出现异常时，仅考虑检测和修理总费用，工程师根据经验给出了三个方案：①按甲、乙、丙的顺序检测修理；②按乙、甲、丙的顺序检测修理；③按丙、乙、甲的顺序检测修理．你运用所学知识，从总费用花费最少的角度，你认为应选用哪个方案，并说明理由．
参考数据： $0.9 8^{10} \approx 0.82$ ， $0.9 8^{9} \approx 0.83$ ， $0.9 8^{8} \approx 0.85$ ．

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21. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 且经过 $P_{1} (- 2 ， 0)$ ， $P_{2} (1 ， \frac{3}{2})$ ， $P_{3} (1 ， - \frac{3}{2})$ ， $P_{4} (1 ， - 1)$ 中的三点，抛物线 $C_{2} ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，椭圆 $C_{1}$ 的右焦点是抛物线 $C_{2}$ 的焦点．

(1)、求曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的方程；

(2)、点P是椭圆 $C_{1}$ 的点，且过点P可以作抛物线 $C_{2}$ 的两条切线，切点为A，B，求三角形 $P A B$ 面积的最大值．

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22. 函数 $f (x) = x - s i n x - c o s x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $(- π ， \frac{π}{2})$ 上的极值；

(2)、证明： $F (x) = f (x) - l n x$ 有两个零点．

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