江苏省苏州市2022届高三下学期数学高考前模拟试卷

试卷更新日期：2022-06-17 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x \in N ∣ x^{2} - x - 2 ⩽ 0} ， B = {- 1 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${1 ， 2 ， 3}$ D、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$

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2. 在复平面内，设z=1+i（i是虚数单位），则复数 $\frac{2}{z}$ +z²对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知单位向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 满足 $2 \vec{a} + 3 \vec{b} + 4 \vec{c} = 0$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $- \frac{29}{12}$ B、 $- \frac{7}{8}$ C、0 D、 $\frac{1}{4}$

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4. 已知 $m s i n 2 0^{∘} + t a n 2 0^{∘} = \sqrt{3}$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、4 D、8

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5. 为加快新冠病毒检测效率，检测机构采取“10合1检测法”，即将10个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现对来自重点管控区的100人进行核酸检测，若有2人感染病毒，则随机将其平均分成10组后这两名感染患者在同一组的概率为（）

A、 $\frac{1}{15}$ B、 $\frac{1}{12}$ C、 $\frac{1}{11}$ D、 $\frac{1}{10}$

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6. 已知奇函数 $f (x) = (x^{2} - 2 x) (a x + b) (a \neq 0)$ 在点 $(a ， f (a))$ 处的切线方程为 $y = f (a)$ ，则 $b =$ （）

A、-1或1 B、 $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 或 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、-2或2 D、 $- \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 或 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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7. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{m - 1} = 1 (m > 1)$ 的左､右焦点，点A是椭圆上的一个动点，若 $△ A F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径的最大值是 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{3} - 1$

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8. 已知 $x = \sqrt{2} ， y = e^{\frac{1}{e}} ， z = π^{\frac{1}{π}}$ ，则 $x ， y ， z$ 的大小关系为（）

A、 $x > y > z$ B、 $x > z > y$ C、 $y > x > z$ D、 $y > z > x$

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二、多选题

9. 已知投资 $A ， B$ 两种项目获得的收益分别为 $X ， Y$ ，分布列如下表，则（）
$X$ /百万
-1
0
2
$P$
0.2
m
0.6
$Y /$ 百万
0
1
2
$P$
0.3
0.4
n

A、 $m + n = 0.5$ B、 $E (2 X + 1) = 4$ C、投资两种项目的收益期望一样多 D、投资 $A$ 项目的风险比 $B$ 项目高

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10. 如图是函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0)$ 的部分图像，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、将函数 $y = f (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后，得到的函数为奇函数 C、 $x = \frac{5 π}{6}$ 是函数 $y = f (x)$ 的一条对称轴 D、若函数 $y = f (t x) (t > 0)$ 在 $[0 ， π]$ 上有且仅有两个零点，则 $t \in [\frac{5}{6} ， \frac{4}{3})$

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11. 某酒店大堂的壁灯的外观是将两个正三棱锥的底面重合构成的一个六面体（如图），已知 $B C = A B = 1$ ，现已知三棱锥 $E - B C D$ 的高大于三棱锥 $A - B C D$ 的高，则（）

A、AB∥平面 $D C E$ B、二面角 $A - B C - E$ 的余弦值小于 $- \frac{7}{9}$ C、该六面体存在外接球 D、该六面体存在内切球

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12. 在数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{n}^{2} - a_{n - 1}^{2} = p$ （ $n ⩾ 2 ， n \in N^{*} ， p$ 为非零常数），则称 ${a_{n}}$ 为“等方差数列”， $p$ 称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（）

A、 ${(- 1)^{n}}$ 是等方差数列 B、若正项等方差数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{1} ， a_{2} ， a_{5}$ 是等比数列，则 $a_{n}^{2} = 2 n - 1$ C、等比数列不可能为等方差数列 D、存在数列 ${a_{n}}$ 既是等方差数列，又是等差数列

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三、填空题

13. 在正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{3} ， a_{2} \cdot a_{4} = 9$ ，记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项的积为 $T_{n}$ ，若 $T_{n} \in (1 ， 1000)$ ，请写出一个满足条件的 $n$ 的值为．

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14. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线与圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 相切，且与双曲线的左支交于 $x$ 轴上方的一点 $P$ ，当 $| P F_{1} | = | F_{1} F_{2} |$ 时直线 $P F_{2}$ 的斜率为．

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15. 函数 $f (x) = l n | x | - | x - 1 |$ ，若函数 $y = f (x) - m$ 有三个零点，则实数 $m$ 的值为．

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16. 如图，已知四面体 $A B C D$ 中， $△ A B D$ 和 $△ B C D$ 都是等腰直角三角形， $A B = \sqrt{2} ， ∠ B A D = ∠ C B D = \frac{π}{2}$ ．若四面体 $A B C D$ 外接球的表面积为 $8 π$ ，则此时二面角 $A - B D - C$ 的大小为；若二面角 $A - B D - C$ 为 $\frac{π}{3}$ 时，点M为线段 $C D$ 上一点，则 $A M$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 在① $(a^{2} + c^{2} - b^{2}) s i n B = \frac{\sqrt{3}}{2} a c$ 且 $B > \frac{π}{4}$ ；② $\frac{b s i n A}{1 - c o s B} = \sqrt{3} a$ ；③ $\frac{s i n B + s i n C}{s i n A - s i n C} = \frac{a}{b - c}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
问题：在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且____．

(1)、求B；

(2)、若D为边 $A C$ 的中点，且 $a = 3 ， c = 4$ ，求中线BD长．

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18. 如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，质点到达位置的数字记为 $X$ ．

(1)、若该质点共移动2次，位于原点 $O$ 的概率；

(2)、若该质点共移动6次，求该质点到达数字X的分布列和数学期望．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{1}{3} a_{1} + \frac{1}{3^{2}} a_{2} + \frac{1}{3^{3}} a_{3} + ⋯ + \frac{1}{3^{n}} a_{n} = n (n \in N^{*}) ， {\frac{1}{a_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = l o g_{3} a_{n}$ ，数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1} b_{n + 2}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < \frac{1}{2} S_{n + 1}$ ．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，已知侧面 $P C D$ 为正三角形，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A B / / C D$ ， $∠ A D C = 9 0^{∘}$ ， $A B = A D = 3$ ， $C D = 4$ ，点 $M ， N$ 分别在线段AB和PD上，且 $A M = 2 M B$ ， $D N = 2 N P$ .

(1)、求证： $P M / /$ 平面 $A C N$ ；

(2)、设二面角 $P - C D - A$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求直线 $P C$ 和平面PAB所成角的大小．

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21. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = e^{x} - a s i n x (x \in [0 ， \frac{π}{2}])$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 零点的个数；

(2)、若 $f (x) ⩾ \frac{\sqrt{3} - 1}{2} a$ ，求 $a$ 的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $F (1 ， 0)$ ，点 $M$ 到直线 $x = - 3$ 的距离比到点 $F$ 的距离大2，记 $M$ 的轨迹为C．

(1)、求C的方程；

(2)、过 $F$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A ， B$ 两点，过点 $A$ 作 $C$ 的切线，交 $x$ 轴于点 $P$ ，直线BP交 $C$ 于点 $Q$ （不同于点B），直线 $A Q$ 交 $x$ 轴于点 $N$ ．若 $S_{△ A N F} = 2 S_{△ P N Q}$ ，求直线 $l$ 的方程．

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$X$ /百万	-1	0	2
$P$	0.2	m	0.6

$Y /$ 百万	0	1	2
$P$	0.3	0.4	n