浙江省金华市七校联考2021-2022学年八年级下学期月考数学试卷

试卷更新日期：2022-06-16 类型：月考试卷

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一、选择题（共10小题，共30分）

1. 下列方程是一元二次方程的是（）

A、 $x^{2} + 3 x y = 3$ B、 $x^{2} + \frac{1}{x} = 3$ C、 $x^{2} + 2 x$ D、 $x^{2} = 3$

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2$ B、 $3 + \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{12} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{5}$

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3. 用配方法解方程 $x^{2} - 2 x - 5 = 0$ 时，原方程应变形为（）

A、 ${(x + 1)}^{2} = 6$ B、 ${(x - 1)}^{2} = 6$ C、 ${(x + 2)}^{2} = 9$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 9$

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4. 若最简二次根式 $\sqrt{1 + 2 a}$ 与 $\sqrt{3}$ 是同类二次根式，则 $a$ 的值为（）

A、2 B、4 C、-1 D、1

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5. 已知 $x = 1$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + a = 0$ 的一个解，则 $a$ 的值为（）

A、1 B、-1 C、0 D、2

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6. 下列四个等式： $① \sqrt{{(- 4)}^{2}} = - 4$ ； $② {(- \sqrt{4})}^{2} = 16$ ； $③ {(- \sqrt{4})}^{2} = 4$ ； $④ {(\sqrt{4})}^{2} = 4.$ 正确的是（）

A、 $① ②$ B、 $③ ④$ C、 $② ④$ D、 $① ③$

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7. 一元二次方程 $x^{2} + 4 x = 3$ 的二次项系数、一次项系数及常数项之和为（）

A、8 B、-1 C、0 D、2

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8. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD⊥BC于点D，则AD的长为（　　）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、3

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9. 为落实教育优先发展，南充市财政一般公共预算2019年教育经费投入93.15亿元，2021年教育经费投入99.45亿元，设南充市财政一般公共预算教育经费投入年平均增长率为x，则可列方程为（）

A、 $93.15 {(1 + x)}^{2} = 99.45$ B、 $93.15 {(1 + x)}^{3} = 99.45$ C、 $93.15 (1 + 2 x) = 99.45$ D、 $93.15 (1 + 3 x) = 99.45$

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10. 如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点 $\dots \dots$ ，第 $n$ 行有 $n$ 个点 $\dots \dots$ ，前 $n$ 行的点数和不能是以下哪个结果（）

A、741 B、600 C、465 D、300

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二、填空题（共6小题，共24分）

11. 计算： $2^{2} + \sqrt{{(- 3)}^{2}} =$ .

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12. 解一元二次方程 $x^{2} - 7 x = 0$ 的最佳方法是.

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13. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 3 x - m = 0$ 的一个根是3，则另一个根是.

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14. 当二次根式作为分母时，如代数式 $\frac{B}{\sqrt{A}}$ 有意义的条件是.

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15. 若等式 $\sqrt{2 x^{2} - x^{3}} = x \sqrt{2 - x}$ 成立，则 $x$ 的取值范围是．

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16. 形如 $x^{2} + a x = b^{2}$ 的方程可用如图所示的图解法研究：画 $R t △ A B C$ ，使 $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = \frac{a}{2}$ ， $A C = b$ ，再在斜边 $A B$ 上截取 $B D = \frac{a}{2}$ ，则可以发现该方程的一个正根是线段的长.

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三、解答题（本大题共8小题，共66分）

17. 计算

(1)、 $(\sqrt{6} + \sqrt{3}) (\sqrt{6} - \sqrt{3})$

(2)、 $(\frac{1}{2} \sqrt{8} + 6 \sqrt{\frac{2}{9}} - 8 \sqrt{\frac{1}{2}}) \div \sqrt{2}$

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18. 解下列一元二次方程．

(1)、 $2 x^{2} + 4 = 7 x$

(2)、 $2 {(x - 3)}^{2} = x^{2} - 9$

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19. 在一节数学课上，李老师出了这样一道题目：
先化简，再求值： $| x - 1 | + \sqrt{{(x - 10)}^{2}}$ ，其中 $x = 9$ .

小明同学是这样计算的：

解： $| x - 1 | + \sqrt{{(x - 10)}^{2}} = x - 1 + x - 10 = 2 x - 11$ .

当 $x = 9$ 时，原式 $= 2 \times 9 - 11 = 7$ .

小荣同学是这样计算的：

解： $| x - 1 | + \sqrt{{(x - 10)}^{2}} = x - 1 + 10 - x = 9$ .

聪明的同学，谁的计算结果是正确的呢？错误的计算错在哪里？

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20. $x$ 为何值时，下列各式有意义？

(1)、 $\sqrt{x^{2}}$ ；

(2)、 $\sqrt{x - 4}$ ；

(3)、 $\sqrt{x + 1} + \sqrt{1 - x}$ ；

(4)、 $\frac{\sqrt{x - 1}}{x - 3}$ .

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21. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．

(1)、求每轮传染中平均一个人传染了几个人？

(2)、如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？

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22. 阅读下列材料，然后回答问题
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 这样的式子，我们可以将其分母有理化： $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 \times (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 \times (\sqrt{3} - 1)}{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2} = \sqrt{3} - 1$ ；

$\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 还可以用以下方法分母有理化： $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3 - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{3} - 1$ .

(1)、请用不同的方法分母有理化： $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ ；

(2)、化简： $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \frac{1}{3 + \sqrt{7}}$ .

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23. 有这样一类题目：将 $\sqrt{a + 2 \sqrt{b}}$ 化简，若你能找到两个数 $m$ 和 $n$ ，使 $m^{2} + n^{2} = a$ 且 $m n = \sqrt{b}$ ，则 $a + 2 \sqrt{b}$ 可变为 $m^{2} + n^{2} + 2 m n$ ，即变成 ${(m + n)}^{2}$ ，从而使得 $\sqrt{a + 2 \sqrt{b}}$ 化简.
例如： $∵ 5 + 2 \sqrt{6} = 3 + 2 + 2 \sqrt{6} = {(\sqrt{3})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2} + 2 \sqrt{6} = {(\sqrt{3} + \sqrt{2})}^{2}$

$∴ \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}} = \sqrt{{(\sqrt{3} + \sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$

请你仿照上例将下列各式化简：

(1)、 $\sqrt{4 + 2 \sqrt{3}}$ ；

(2)、 $\sqrt{7 - 2 \sqrt{10}}$ .

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24. 阅读材料：
两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 、 $B (x_{2} ， y_{2})$ ，那么 $A$ 、 $B$ 两点的距离 $A B = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}} .$ 则 $A B^{2} = {(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}$ .

例如：若点 $A (4 ， 1)$ ， $B (2 ， 3)$ ，则 $A B = \sqrt{{(4 - 2)}^{2} + {(1 - 3)}^{2}} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$ ，

根据上面材料完成下列各题：

(1)、若点 $A (- 2 ， 3)$ ， $B (1 ， - 3)$ ，则 $A$ 、 $B$ 两点间的距离是.

(2)、若点 $A (- 2 ， 3)$ ，点 $B$ 在坐标轴上，且 $A$ 、 $B$ 两点间的距离是5，求 $B$ 点坐标.

(3)、若点 $A (x ， 3)$ ， $B (3 ， x + 1)$ ，且 $A$ 、 $B$ 两点间的距离是5，求 $x$ 的值.

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