浙江省宁波市余姚市2021-2022学年八年级下学期阳明杯学科竞赛（二试）数学试卷

试卷更新日期：2022-06-16 类型：竞赛测试

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一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）

1. 下列各式中，一定是二次根式的是（）.

A、 $\sqrt{- 5}$ B、 $\sqrt{\frac{2}{3 a - 1}}$ C、 $2 \sqrt{3 a}$ D、 $\sqrt{a^{2} + 2}$

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2. 下列关于 $x$ 的方程是一元二次方程的是（）.

A、 $a x^{2} + b x + c = 0$ B、 $x^{2} + 2 x = \frac{1}{x}$ C、 $x^{2} - 2 = 0$ D、 $x^{2} + y^{2} = 1$

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3. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）.

A、科克曲线 B、笛卡尔心形线 C、赵爽弦图 D、斐波那契螺旋线

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4. 在子陵中学“我的中国心”红色主题演讲比赛中，八年级共有 9 位同学参加比赛，这 9位同学决赛成绩各不相同，805 班小张同学想知道自己能否进入前五名，除了要知道自己的成绩之外，还需了解这 9 名同学成绩的（）

A、平均数 B、中位数 C、方差 D、标准差

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5. 用配方法解方程 x² + 6x -1 = 0 时，配方结果正确的是（）

A、(x - 3)² = 10 B、(x - 3)² = 8 C、(x + 3)² = 8 D、(x + 3)² = 10

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6. 用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”，应该先假设这个三角形中（　　）

A、没有一个内角小于60° B、每一个内角小于60° C、至多有一个内角不小于60° D、每一个内角都大于60°

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7. 如图，小华从点 A 出发向前走 10m，向右转 15°，然后继续向前走 10m，再向右转 15°，他以同样的方法继续走下去，当他第一次回到点 A 时共走了（）米.

A、200 米 B、240 米 C、280 米 D、300 米

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8. 某商店经销一种销售成本为40元的水果，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克：销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，设销售单价为每千克x（x＞50）元，月销售利润达8000元．则方程为（）

A、（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000 B、（x﹣40）（10x﹣500）＝8000 C、（x﹣40）（500﹣10x）＝8000 D、（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]＝8000

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9. 已知点A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂），C（x₃ ， y₃）都在反比例函数 $y = \frac{a^{2} + 1}{x}$ （a是常数）的图象上，且y₁＜y₂＜0＜y₃ ，则x₁ ， x₂ ， x₃的大小关系为（）

A、x₂＞x₁＞x₃ B、x₃＞x₁＞x₂ C、x₃＞x₂＞x₁ D、x₁＞x₂＞x₃

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10. 如图所示，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E、F分别是矩形的边AD、BC上的动点，将该纸片沿直线EF折叠．使点B落在矩形边AD上，对应点记为点G，点A落在M处，连接EF、BG、BE，EF与BG交于点N．则下列结论成立的是（）

①BN＝AB；②当点G与点D重合时，EF= $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ ；③△GNF的面积S的取值范围是 $\frac{9}{4} \leq S \leq \frac{7}{2}$ ；④当CF= $\frac{5}{2}$ 时，S_△_MEG= $\frac{3 \sqrt{13}}{4}$ ．

A、①③ B、③④ C、②③ D、②④

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二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11. 要使二次根式 $\sqrt{x - 2}$ 有意义，则x的取值范围是．

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12. 已知一组数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 的平均数和方差分别是2， $\frac{2}{3}$ ，那么另一组数据 $2 x_{1} - 1$ ，2 $x_{2} - 1$ ， $2 x_{3} - 1$ 的平均数和方差分别是，．

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13. 已知关于 x 的一元二次方程 k²x² - (2k +1)x +1 = 0 有两个实数根，则 k 的取值范围是

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14. 如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接FG，若AB＝8，则FG的最小值为．

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15. 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=AD，E、F分别是 AB、AD 中点，若EF＝ $\sqrt{2}$ ，BC＝ $\sqrt{11}$ ，CD＝ $\sqrt{3}$ ，则 S_{四边形 ABCD}＝.

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16. 如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是2和3，每个台阶凸出的角的顶点记作T_m（m为1～8的整数）．反比例函数y $= \frac{k}{x}$ （x＞0）的图象为曲线L．

(1)、若反比例函数的图象L过点T₁ ，则k＝；

(2)、若反比例函数图象L使得T₁～T₈这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有个．

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三、解答题（第17、18、19题各6分，第20、21题各8分，第22、23题10分，第24题12分，共66分）

17. 计算：

(1)、 ${(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \times \sqrt{8}$

(2)、 $\sqrt{\frac{2}{3}} - (\frac{1}{6} \sqrt{24} - \frac{3}{2} \sqrt{12})$

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18. 解方程：

(1)、x²﹣2x﹣15＝0；

(2)、（3x+2）²＝3（3x+2）．

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19. 我们把每个顶点都在格点的四边形叫做格点四边形.如图，在所给的 $8 \times 6$ 方格纸中，点A，B均为格点，请画出符合要求的格点四边形.

(1)、在图1中画出一个以 $A B$ 为边的矩形 $A B C D$ ，且它的面积为整数；

(2)、在图2中画出一个以 $A B$ 为对角线的菱形 $A P B Q$ ，且它的周长为整数.

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20. 2020新型冠状病毒突然来袭，我校为了增强同学们的科学防疫意识，开展了以“科学防疫，我健康，我快乐”为主题的安全知识竞赛，并从全校学生中随机抽取了男、女同学各40名，并将数据进行整理分析，得到了如下信息：

（1）女生成绩扇形统计图和男生成绩频数分布直方图如图：(数据分组为 $A$ 组： $x < 70$ ， $B$ 组： $70 \leq x < 80$ ， $C$ 组： $80 \leq x < 90$ ， $D$ 组： $90 \leq x \leq 100$ ）
（2）女生 $C$ 组中全部15名学生的成绩为：86，87，81，83，89，84，85，87，86，

89，82，88，89，85，89(3)两组数据的相关统计数据如表（单位：分）

	平均数	中位数	众数	满分率
女生	90	$b$	$c$	25%
男生	90	88	98	15%

(1)、扇形统计图中

A

组学生对应的圆心角

α

的度数为度，认真分析以上数据信息后填空：中位数

b =

，众数

c =

；

(2)、通过以上的数据分析，你认为 ▲ （填“女生”或“男生” ）知识竞赛成绩更好，并说明理由；

(3)、若成绩在90分（包含90分）以上为优秀，请你估计我校2400名学生此次知识竞赛中优秀的人数．

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21. 直线y＝3x与反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ 的图象交于A（1，m）和点B．

(1)、求m、k的值，并直接写出点B的坐标

(2)、过点P（t，0）（﹣1≤t≤1且t≠0）作x轴的垂线分别交直线y＝3x与反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ 的图象于点E，F．
①当t＝ $\frac{1}{3}$ 时，求线段EF的长；
②若0＜EF≤8，请根据图象直接写出t的取值范围．

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22. 如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE、CF．

(1)、求证：四边形AECF是菱形；

(2)、若CF＝2，∠FAC＝30°，∠B＝45°，求AB的长．

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23. 某商场在去年底以每件80元的进价购进一批同型号的服装，一月份以每件150元的售价销售了320件，二、三月份该服装畅销，销量持续走高，在售价不变的情况下，三月底统计知三月份的销量达到了500件

(1)、求二、三月份服装销售量的平均月增长率

(2)、从四月份起商场因换季清仓采用降价促销的方式，经调查发现，在三月份销量的基础上，该服装售价每降价5元，月销售量增加10件，当每件降价多少元时，四月份可获利12000元?

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24. 在平行四边形ABCD中，∠BAD＝α，DE平分∠ADC，交对角线AC于点G，交射线AB于点E，将线段EB绕点E顺时针旋转 $\frac{1}{2}$ α得线段EP．

(1)、如图1，当α＝120°时，连接AP，请写出线段AP和线段AC的数量关系，并说明理由；

(2)、如图2，当α＝90°时，过点B作BF⊥EP于点F，连接AF，请写出线段AF，AB，AD之间的数量关系，并说明理由；

(3)、当α＝120°时，连接AP，若BE $= \frac{1}{2}$ AB，直接写出△APE与△CDG面积的比值．

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