江苏省南通、苏北部分学校2022届高三下学期数学第四次调研考试试卷

试卷更新日期：2022-06-16 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 在复平面内，一个正方形的3个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，则第4个顶点对应的复数为（）

A、－1＋2i B、－1＋3i C、3i D、 $- \frac{1}{2} + 3 i$

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2. 已知M，N均为R的子集，且 $M \subseteq ∁_{R} N$ ，则 $(∁_{R} M) ∩ N$ ＝（）

A、 $\emptyset$ B、M C、N D、R

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3. 若函数f(x)满足f（2x）＝x，则f（5）＝（）

A、2⁵ B、5² C、log₅2 D、log₂5

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4. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (\sqrt{3} ， 1)$ ， $\vec{a} · \vec{b} ＝ 4$ ，则 $| \vec{b} |$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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5. 已知函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x) = x^{3}$ ， $a = f (l o g_{2} \frac{1}{3})$ ， $b = f (2^{- \frac{3}{4}})$ ， $c = f (- 2^{\frac{4}{3}})$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $b < c < a$ C、 $a < b < c$ D、 $a < c < b$

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6. 如图，在底面半径为1，高为5的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆．则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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7. 设数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 均为公比不等于1的等比数列，前n项和分别为 $S_{n} ， T_{n}$ ，若 $S_{n} = (2^{n} + 1) T_{n}$ ，则 $\frac{a_{4}}{b_{8}}$ ＝（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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8. 设抛物线C：y²＝4x的焦点为F，过F的直线C相交于A，B两点，则4|AF|＋9|BF|的最小值为（）

A、26 B、25 C、20 D、18

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二、多选题

9. 某物理量的测量结果 $X$ 服从正态分布 $N (100 ， σ^{2})$ ，则（）

A、该正态分布对应的正态密度曲线关于直线 $x = 100$ 对称 B、 $σ$ 越大，该正态分布对应的正态密度曲线越尖陡 C、 $σ$ 越小，在一次测量中， $X$ 的取值落在 $(99 ， 101)$ 内的概率越大 D、在一次测量中， $X$ 的取值落在 $(99 ， 102)$ 与落在 $(101 ， 104)$ 的概率相等

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10. 若函数 $f (x)$ 同时具有性质：①对于任意的 $x ， y \in R$ ， $\frac{f (x) + f (y)}{2} \geq f (\frac{x + y}{2})$ ， ② $f (x)$ 为偶函数，则函数 $f (x)$ 可能为（）

A、 $f (x) = | x |$ B、 $f (x) = l n (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ C、 $f (x) = 2^{x} + \frac{1}{2^{x}}$ D、 $f (x) = l n (| x | + 1)$

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11. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{4}) (0 < ω < \frac{π}{2})$ 在区间 $(0 ， 1)$ 上可能（）

A、单调递增 B、有零点 C、有最小值 D、有极大值

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12. 已知三棱锥D－ABC的外接球的表面积为24π，直角三角形ABC的斜边 $A B = 2 \sqrt{5} ， A C = 2$ ， CD⊥BC，则（）

A、BC⊥平面ACD B、点D的轨迹的长度为2π C、线段CD长的取值范围为（0，2 $\sqrt{2}$ ] D、三棱锥D－ABC体积的最大值为 $\frac{4 (\sqrt{2} + 1)}{3}$

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三、填空题

13. 一个圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为 $120 °$ 的扇形，则该圆锥的体积为．

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14. 若 $\frac{c o s (\frac{π}{2} - α) + s i n 2 α}{c o s 2 α + c o s α + 1}$ ＝3，则 $s i n 2 α$ ＝．

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15. 若关于x的不等式 $a (x + 1) e^{x} - x < 0$ 有且只有2个正整数解，则实数a的取值范围为．

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16. 在 $(x + 1)^{4} (y + z)^{6}$ 的展开式中，所有项系数之和为；展开式中系数最大项的系数为．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， ${a_{n}}_{＋ 1} ＞ a_{n}$ ， $4 S_{n} ＝ {a_{n}}^{2} ＋ 4 n$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{a_{n}}{2^{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c， $b c o s A = a (c o s B - \frac{2}{3}) + c$ ．

(1)、求cosB；

(2)、若b＝3，a＞c，△ABC的面积为 $2 \sqrt{2}$ ，求a．

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19. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，M，N分别是AB和CD的中点，P是BM的中点．将矩形AMND沿MN折起，形成多面体AMB－DNC．

(1)、证明：BD $/ /$ 平面ANP；

(2)、若二面角A－MN－B大小为120°，求直线AP与平面ABCD所成角的正弦值．

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20. 某次知识竞赛共有两道不定项选择题，每小题有4个选项，并有多个选项符合题目要求．评分标准如下：全部选对得10分，部分选对得4分，有选错得0分．由于准备不充分，小明在竞赛中只能随机选择，且每种选法是等可能的（包括一个也不选）．

(1)、已知两题都设置了3个正确选项，求小明这两题合计得分为14分的概率；

(2)、已知其中一题设置了2个正确选项，另一题设置了3个正确选项．小明准备从以下两个方案中选择一种进行答题．为使得得分的期望最大，小明应选择哪一种方案？并说明理由．
方案一：每道题都随机选1个选项；
方案二：每道题都随机选2个选项．

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21. 已知函数f(x)＝2lnx－x，g(x)＝ $\frac{a}{2} {(x - 2)}^{2}$ （a≤1）．

(1)、讨论f(x)的单调性；

(2)、若函数h(x)＝f(x)＋g(x)，讨论h(x)的零点个数．

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22. 已知F₁（－ $\sqrt{6}$ ， 0），F₂（ $\sqrt{6}$ ， 0）为双曲线C的焦点，点P（2，－1）在C上．

(1)、求C的方程；

(2)、点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若 $\vec{O M}$ ＋ $\vec{O N} = \vec{0}$ ， $\vec{P Q} \cdot \vec{A B}$ ＝0，证明：存在定点T，使得|QT|为定值．

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