江苏省淮安市2022届高三下学期数学5月模拟试卷

试卷更新日期：2022-06-16 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知i为虚数单位，若复数z满足 $(1 + i) \bar{z} = 2 i$ ，则 $| \bar{z} | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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2. 已知集合 $A = {x | \frac{1}{x} < 1} ， B = {x | l o g_{2} (- x) \leq 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 2 ， 0]$ B、 $[0 ， 2)$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $[- 2 ， 0)$

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3. 已知 $| \vec{a} | = 2$ ， $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影为1，则 $\vec{a} + \vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影为（）

A、-1 B、2 C、3 D、 $\sqrt{2}$

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4. 已知函数 $f (x) = \frac{x (e^{x} - e^{- x})}{| x | - 1}$ ，则 $f (x)$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知等差数列 $(a_{n}$ }的前n项和为 $S_{n}^{}$ ，若 $S_{7} > 0 ， S_{8} < 0$ ，则 $\frac{a_{1}}{d}$ 的取值范围是（）

A、 $(- 3 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - \frac{7}{2}) ∪ (- 3 ， + \infty)$ C、 $(- \frac{7}{2} ， - 3)$ D、 $(- \infty ， - \frac{7}{2})$

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6. 已知函数 $f (x) = c o s 2 x ， x \in (0 ， π ）$ 在 $x = x_{0}$ 处的切线斜率为 $\frac{8}{5}$ ，则 $s i n x_{0} - c o s x_{0} =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$

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7. 已知 $(1 + x) + {(1 + x)}^{2} + ⋯ + {(1 + x)}^{8} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{8} x^{8}$ ，则 $a_{2}$ 的值为（）

A、64 B、84 C、94 D、54

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8. 已知偶函数 $f (x)$ 的定义域为R，导函数为 $f^{'} (x)$ ，若对任意 $x \in [0 ， + ∞)$ ，都有 $2 f (x) + x f^{'} (x) > 0$ 恒成立，则下列结论正确的是（）

A、 $f (0) < 0$ B、 $9 f (- 3) < f (1)$ C、 $4 f (2) > f (- 1 ）$ D、 $f (1) < f (2)$

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二、多选题

9. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 与椭圆共焦点，若两曲线的一个交点为P，则下列说法正确的是（）

A、 $p = 4$ B、 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 6$ C、 $| P F_{2} | = 3$ D、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为2 $\sqrt{5}$

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10. 关于函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的叙述中正确的有（）

A、函数f(x)可能为偶函数 B、若直线 $x = \frac{π}{6}$ 是函数f(x)的最靠近y轴的一条对称轴，则 $ω = 1$ C、若 $ω = 2$ ，则点（ $\frac{π}{3}$ ， 0）是函数f(x)的一个对称点 D、若函数f(x)在区间[0，π]上有两个零点，则 $\frac{5}{3} \leq ω < \frac{8}{3}$

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11. 设 $X ~ N (μ ， σ_{1}^{2}) ， Y ~ N (μ ， σ_{2}^{2})$ ，这两个概率密度曲线（如图），下列说法正确的是（）

A、 $σ_{1} < σ_{2}$ B、 $σ_{1} = σ_{2}$ C、对任意实数 $m > μ ， P (X \leq m) > P (Y \leq m)$ D、若 $P (μ - k_{1} σ_{1} \leq X \leq μ + k_{1} σ_{1}) > P (μ - k_{2} σ_{2} \leq Y \leq μ + k_{2} σ_{2}) ， k \in R^{+}$ ，则 $k_{1} < k_{2}$

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12. 如图，已知正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱长为1，P为正方形底面ABCD内一动点，则下列结论正确的有（）

A、三棱锥 $B_{1}$ - $A_{1} D_{1} P$ 的体积为定值 B、存在点P，使得 $D_{1} P ⊥ A D_{1}$ C、若 $D_{1} P ⊥ B_{1} D$ ，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹是线段AC D、若点P是AD的中点，点Q是 $B B_{1}$ 的中点，过P，Q作平面α垂直于平面 $A C C_{1} A_{1}$ ，则平面α截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D$ 的截面周长为3 $\sqrt{2}$

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三、填空题

13. 写出一个图象关于直线 $x = 1$ 对称的奇函数 $f (x) =$ ．

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14. ${(x + \frac{1}{x} + 2)}^{4}$ 的展开式的常数项是．

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15. 周总理纪念馆是由正方体和正四棱锥组合体建筑设计，如图所示，若该组合体接于半径R的球O（即所有顶点都在球上），记正四棱锥侧面 $P B_{1} C_{1}$ 与正方体底面A₁B₁C₁D₁所成二面角为 $θ$ ，则 $t a n θ =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = \sqrt{1 - {(x - 2)}^{2}} + 2$ 的图像上有且仅有两个不同的点关于直线 $y = 1$ 的对称点在 $y = k x + 1$ 的图像上，则实数k的取值范围是．

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四、解答题

17. 在矩形ABCD中， $A D = 2 A B = 2 \sqrt{2}$ ，点E是线段AD的中点，将△ABE沿BE折起到△PBE位置（如图），点F是线段CP的中点．

(1)、求证：DF∥平面PBE：

(2)、若二面角 $P - B E - C$ 的大小为 $\frac{π}{2}$ ，求点A到平面PCD的距离．

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18. 记数列{ $a_{n}$ }的前n项和为 $S_{n}$ .已知 $a_{1} = 1$ ， ____.
从① $a_{n + 2} - a_{n} = 4$ ；② $a_{n + 1} + a_{n} = 4 n$ ；③ $S_{n} = n a_{n + 1} - n （ n + 1 ）$ 中选出一个能确定{ $a_{n}$ }的条件，
补充到上面横线处，并解答下面的问题.

(1)、求{ $a_{n}$ }的通项公式：

(2)、求数列{ ${(- 1)}^{n} · S_{n}$ }的前20项和 $T_{20}$ .

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19. 在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanB $= \frac{s i n A}{2 - c o s A}$

(1)、若 $t a n B = \frac{1}{2}$ ，求tanC的值：

(2)、已知中线AM交BC于M，角平分线AN交BC于N，且 $A M = 3 ， M N = 1 ，$ 求△ABC的面积．

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20. 2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战 $6 ： 5$ 惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇．

(1)、扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有 $\frac{1}{2}$ 的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数X的分布列和期望；

(2)、好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为 $p_{n}$ ，易知 $p_{1} = 1 ， p_{2} = 0$ ．
①试证明 ${p_{n} - \frac{1}{4}}$ 为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为 $q_{n}$ ，比较 $p_{10}$ 与 $q_{10}$ 的大小．

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21. 已知函数 $f (x) = x l n x - a e^{x} - x^{2}$ ， $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数，且 $f^{'} (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，e是自然对数的底数．

(1)、当 $a = 0$ 时，求f(x)图像在 $x = 1$ 处的切线方程：

(2)、若函数 $f (x) \geq x$ 对任意的 $x \in [1 ， + ∞)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两条渐近线分别为 $l_{1} ， l_{2}$ ，圆 $E ： {(x - a)}^{2} + y^{2} = r^{2} （ r > 0)$ 与双曲线相交于点A，B（点B，A分别位于平面直角坐标系 $x O y$ 的第一、二象限），且双曲线的虚轴长为2，离心率 $e = \frac{\sqrt{5}}{2}$

(1)、求双曲线的标准方程：

(2)、直线AB与两渐近线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别交于M，N两点，若MON的面积为 $\frac{8}{5}$ ，求直线AB的斜率．

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