江苏省常州市2022届高三下学期数学5月模拟试卷

试卷更新日期：2022-06-16 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 若非空且互不相等的集合A、B、C，满足： $A ∪ B = A ， B ∩ C = C$ ，则 $A ∩ C =$ （）

A、A B、B C、C D、 $\emptyset$

查看试题解析
2. 已知复数z满足 $(z - 1) i = 1 + i$ （其中i是虚数单位），则 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

查看试题解析
3. 在 $△ A B C$ 中，满足 $A > 2 B$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $c o s A < 2 c o s B$ B、 $s i n A > 2 s i n B$ C、 $s i n A > s i n 2 B$ D、 $t a n A > 2 t a n B$

查看试题解析
4. 已知直线m，n是平面 $α$ 的两条斜线，若m，n为不垂直的异面直线，则m，n在平面 $α$ 内的射影 $m^{'} ， n^{'}$ （）

A、不可能平行，也不可能垂直 B、可能平行，但不可能垂直 C、可能垂直，但不可能平行 D、可能平行，也可能垂直

查看试题解析
5. 已知 $a = \frac{l n 2}{2} ， b = \frac{l n 3}{3} ， c = \frac{l n 6}{5}$ ，则正确的大小顺序是（）

A、 $b < a < c$ B、 $a < c < b$ C、 $a < b < c$ D、 $c < a < b$

查看试题解析
6. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = n$ ，在 $a_{n} ， a_{n + 1}$ 之间插入n个1，构成数列 ${b_{n}}$ ： $a_{1} ， 1 ， a_{2} ， 1 ， 1 ， a_{3} ， 1 ， 1 ， 1 ， a_{4} ， ⋯$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的前100项的和为（）

A、178 B、191 C、206 D、216

查看试题解析
7. 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若 $\vec{B E} = λ \vec{E F}$ ， $\vec{B F} = \frac{16}{25} \vec{B C} + \frac{12}{25} \vec{B A}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

查看试题解析
8. 已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，若函数 $f (x) = P (x \leq ξ \leq x + 2)$ 是偶函数，则实数 $μ =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

查看试题解析

二、多选题

9. 已知二项式 ${(x - \frac{1}{x^{2}})}^{2022}$ ，则下列说法中正确的有（）

A、二项展开式中有常数项 B、二项展开式的系数和为0 C、二项展开式的第2项系数为2022 D、二项展开式的第1012项的系数最大

查看试题解析
10. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P是底面 $A B C D$ 内的动点，若 $\vec{B_{1} P} = x \vec{B_{1} A} + y \vec{B_{1} C} (x ， y \in R)$ ，则（）

A、 $B_{1} P ⊥ B D_{1}$ B、 $B_{1} P$ $/ /$ 平面 $A_{1} D C_{1}$ C、四面体 $P A_{1} D C_{1}$ 的体积为定值 D、 $B_{1} P$ 与底面 $A B C D$ 所成的角最大为 $4 5^{∘}$

查看试题解析
11. 已知圆 $C ： (x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 1$ ，点 $A (2 ， 0)$ ，过点A的直线与圆C交于两点P，Q，且 $A P < A Q$ ．则（）

A、直线 $P Q$ 的斜率 $k \geq 1$ B、 $A Q$ 的最小值为2 C、 $A P$ 的最小值为 $\sqrt{5} - 1$ D、 $\vec{A P} \cdot \vec{A Q} = 4$

查看试题解析
12. 已知函数 $f (x) = | s i n x | c o s x ， x \in R$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的值域为 $[- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2}]$ B、函数 $f (x)$ 是一个偶函数，也是一个周期函数 C、直线 $x = \frac{3 π}{4}$ 是函数 $f (x)$ 的一条对称轴 D、方程 $f (x) = l o g_{4} x$ 有且仅有一个实数根

查看试题解析

三、填空题

13. 命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 1 < 0$ ”的否定是．

查看试题解析
14. 已知 $θ$ 为第二象限角，若 $t a n (θ + \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$ ，则 $s i n θ + c o s θ$ 的值为．

查看试题解析
15. 在三棱锥 $A - B C D$ 中，已知 $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ， $B C ⊥ C D$ ，若 $A B = 2$ ， $B C = C D = 4$ ，则 $A C$ 与 $B D$ 所成角的余弦值为．

查看试题解析
16. 设随机变量 $ξ$ 的分布列如下：
$ξ$
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P
$a_{1}$
$a_{2}$
$a_{3}$
$a_{4}$
$a_{5}$
$a_{6}$
$a_{7}$
$a_{8}$
$a_{9}$
$a_{10}$
且数列 ${a_{n}}$ 满足 $P (ξ \leq k) = k a_{k} (k = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， 10)$ ，则 $E (ξ) =$ ．

查看试题解析

四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} + a_{n} = 3 - \frac{2}{2^{n}}$ ．

(1)、若 $b_{n} = 2^{n} a_{n}$ ，求证：数列 ${b_{n}}$ 是等差数列；

(2)、求出数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ 和前n项和 $S_{n}$ ．

查看试题解析
18. 在 $△ A B C$ 中， $A B \cdot t a n C = A C \cdot t a n B$ ，点D是边 $B C$ 上一点，且满足： ${\vec{A B}}^{2} + \vec{A B} \cdot \vec{B D} = 0$ ．

(1)、证明： $△ A B C$ 为等腰三角形；

(2)、若 $B D = 3 C D$ ，求 $∠ B A C$ 的余弦值．

查看试题解析
19. 如图，以C为直角顶点的等腰直角三角形 $A B C$ 所在的平面与以O为圆心的半圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ 所在的平面垂直，P为 $\overset{⌢}{A B}$ 上异于A，B的动点，已知圆O的半径为1．

(1)、求证： $C O ⊥ P B$ ；

(2)、若二面角 $P - B C - A$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ ，求点P到平面 $A B C$ 的距离．

查看试题解析
20. 某校举行青年教师视导活动，对48位青年教师的备课本进行了检查，相关数据如下表：
性别
等第
合计
良好
优秀
男教师
a
10
18
女教师
10
20
合计
30
48
附： $x^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ （其中 $n = a + b + c + d$ ）．
临界值表：
$P (χ^{2} \geq x_{0})$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$x_{0}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

(1)、是否有90%的把握认为备课本是否优秀与性别有关？

(2)、从48本备课本中不放回的抽取两次，每次抽取一本，求第一次取到女教师备课本的条件下，第二次取到优秀备课本的概率．

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{e^{x - 1}}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值，

(2)、对任意实数 $x > 0$ ， $f (x) \leq (x - a) l n x + 1$ 恒成立，求正实数a的取值范围．

查看试题解析
22. 离心率为e的椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点，且直线 $y = e x$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的一条渐近线．椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，记直线 $A P$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $Q B$ 的斜率为 $k_{2}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若直线 $P Q$ 过x轴上一定点 $(m ， 0)$ ，求 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ （用含m的式子表示）．

查看试题解析

$ξ$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
P	$a_{1}$	$a_{2}$	$a_{3}$	$a_{4}$	$a_{5}$	$a_{6}$	$a_{7}$	$a_{8}$	$a_{9}$	$a_{10}$

性别	等第		合计
性别	良好	优秀	合计
男教师	a	10	18
女教师	10	20
合计		30	48

$P (χ^{2} \geq x_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$x_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828