江苏省2022届高三数学高考前临门一脚试卷

试卷更新日期：2022-06-16 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | - 4 < x < 2} ， N = {x | x^{2} - x - 6 < 0}$ ，则 $M \cap N$ =（）

A、 ${x | - 4 < x < 3}$ B、 ${x | - 4 < x < - 2}$ C、 ${x | - 2 < x < 2}$ D、 ${x | 2 < x < 3}$

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2. 已知复数 $z = a + \sqrt{3} i$ ( $a \in R$ ，i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第二象限，且 $| z | = 2$ ，则复数z等于（）

A、 $- 1 + \sqrt{3} i$ B、 $1 + \sqrt{3} i$ C、 $- 1 + \sqrt{3} i$ 或 $1 + \sqrt{3} i$ D、 $- 2 + \sqrt{3} i$

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3. 设 $0 < x < \frac{π}{2}$ ，则“ $x s i n x < 1$ ”是“ $x^{2} < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 函数 $y = 2 \sin (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的周期为 $π$ ，则其单调递增区间为（）

A、 $[k π - \frac{3 π}{4} ， k π + \frac{π}{4}] (k \in Z)$ B、 $[2 k π - \frac{3 π}{4} ， 2 k π + \frac{π}{4}] (k \in Z)$ C、 $[k π - \frac{3 π}{8} ， k π + \frac{π}{8}] (k \in Z)$ D、 $[2 k π - \frac{3 π}{8} ， 2 k π + \frac{π}{8}] (k \in Z)$

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5. 八音是中国古代对乐器的总称，指金､石､土､革､丝､木､匏､竹八类，每类又包括若干种乐器.现有土､丝､竹三类乐器，其中土有缶､埙2种乐器；丝有琴､瑟､筑､琵琶4种乐器；竹有箫､笛､笼3种乐器.现从这三类乐器中各选1种乐器分配给甲､乙､丙三位同学演奏，则不同的分配方案有（）

A、24种 B、72种 C、144种 D、288种

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ， $a_{n} > 0$ ，前n项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n}^{2} - S_{n} + S_{n - 1}^{2} - S_{n - 1} - 2 S_{n} S_{n - 1} = 0$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ 为（）

A、 $\frac{n (n + 1)}{2}$ B、 $2^{n - 1}$ C、 $2 n^{2} - 1$ D、 $2^{n} - 1$

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7. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，过点F的直线交拋物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若 $| B C | = 2 | B N |$ ，则 $△ A F M$ 的面积为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、4 C、 $2 \sqrt{3}$ D、2

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8. 定义在 $(- 2 ， 2)$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，满足： $f (x) + e^{4 x} f (- x) = 0$ ， $f (1) = e^{2}$ ，且当 $x > 0$ 时， $f^{'} (x) > 2 f (x)$ ，则不等式 $e^{2 x} f (2 - x) < e^{4}$ 的解集为（）

A、 $(1 ， 4)$ B、 $(- 2 ， 1)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $(0 ， 1)$

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二、多选题

9. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + 2 y = 2$ ，则（）

A、 $x y$ 的最小值是1 B、 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值是 $\frac{4}{5}$ C、 $2^{x} + 4^{y}$ 的最小值是4 D、 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值是5

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10. 已知向量 $\vec{a} = (- 3 ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， 1)$ ， $\vec{c} = (λ ， - 1)$ ， $λ \in R$ ，则（）

A、若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，则 $λ = 4$ B、若 $\vec{a} = t \vec{b} + \vec{c}$ ，则 $λ + t = - 6$ C、 $| \vec{a} + μ \vec{b} |$ 的最小值为 $\frac{7 \sqrt{5}}{5}$ D、若向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 与向量 $2 \vec{b} + \vec{c}$ 的夹角为锐角，则 $λ$ 的取值范围是 $(- \infty ， - 1)$

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11. 设函数 $f (x) = c o s (ω x + φ)$ （ $ω$ ， $φ$ 是常数， $ω > 0$ ， $0 < φ < \frac{π}{2}$ ），若 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{24} ， \frac{5 π}{24}]$ 上具有单调性，且 $f (- \frac{π}{24}) = - f (\frac{5 π}{24}) = - f (\frac{11 π}{24})$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为π B、 $f (x)$ 的单调递减区间为 $[- \frac{π}{6} + k π ， \frac{π}{3} + k π]$ ， $k \in Z$ C、 $f (x)$ 图像的对称轴为直线 $x = \frac{π}{12} + \frac{k π}{2}$ ， $k \in Z$ D、 $f (x)$ 的图像可由 $g (x) = s i n ω x$ 的图像向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度得到

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12. 已知P为抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的动点， $Q (4 ， - 4)$ 在抛物线C上，过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点， $M (3 ， - 2)$ ， $N (- 1 ， 1)$ ，则（）

A、 $| P M | + | P F |$ 的最小值为4 B、若线段AB的中点为M，则 $△ N A B$ 的面积为 $\sqrt{2}$ C、若 $N A ⊥ N B$ ，则直线l的斜率为2 D、过点 $E (1 ， 2)$ 作两条直线与抛物线C分别交于点G，H，且满足EF平分 $∠ G E H$ ，则直线GH的斜率为定值

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (3 ， 4)$ ，若 $(λ \vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $λ =$ ．

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14. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 与方向向量为 $\vec{k} = (6 ， 6)$ 的直线交于A，B两点，线段AB的中点为 $(4 ， 1)$ ，则该双曲线的渐近线方程是.

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15. 已知空间四边形 $A B C D$ 的各边长及对角线BD的长度均为6平面 $A B D ⊥$ 平面 $C B D ，$ 点 $M$ 在 $A C$ 上，且 $A M = 2 M C ，$ 过点 $M$ 作四边形 $A B C D$ 外接球的截面﹐则截面面积最大值与最小值之比为.

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16. 过抛物线 $y^{2} = m x (m < 0)$ 的焦点 $F$ 作圆 $C ： (x + 3)^{2} + (y + 3)^{2} = 16$ 的切线，切点为 $P$ .若 $| C F | = \sqrt{34}$ ，则 $| P F | =$ ， $m =$ .

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四、解答题

17. 记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b s i n C = s i n C + \sqrt{3} c o s C$ ， $A = \frac{π}{3}$ ．

(1)、求 $c$ ；

(2)、在下列三个条件中选择一个作为补充条件，判断该三角形是否存在？若存在，求出三角形的面积；若不存在，说明理由．
① $B C$ 边上的中线长为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， ②AB边上的中线长为 $\sqrt{7}$ ， ③三角形的周长为 $6$ ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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18. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $b = \sqrt{22}$ ， D是边AB上一点， $B D = 2 A D$ .

(1)、若CD平分 $∠ A C B$ ，求a；

(2)、若 $c o s B = \frac{\sqrt{7}}{4}$ ， $C D = B D$ ，求c.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， $\frac{S_{n}}{n} = a_{n + 1} - n - 1$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、求 $S_{n}$ ；

(2)、令 $b_{n} = \frac{S_{n}}{n a_{n} a_{n + 1}} - \frac{S_{n + 1}}{(n + 1) a_{n + 1} a_{n + 2}}$ ，证明： $b_{1} + b_{2} + b_{3} + ⋯ + b_{n} < \frac{1}{3}$ .

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20. 为丰富学生的课外生活，某中学要求高一年级全体学生在国庆黄金周期间，在家长的陪同下开展以“读万卷书，行万里路”为主题的研学活动，学校结合研学主题向学生们推荐了一份由历史文化类和红色文化类组成的10个景点的清单，要求每位学生选择其中的3个景点参观游览，并将参观现场的互动照片以及参观的感想在各班级微信群中与大家分享.已知学校推荐的景点清单中历史文化类景点有7个，红色文化类景点有6个，其中有部分景点既属于历史文化类景点又属于红色文化类景点.

(1)、求某学生选择参观的3个景点中至少有一个红色文化类景点的概率；

(2)、设某学生选择参观的3个景点中既属于历史文化类景点又属于红色文化类景点的个数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(0 ， 1)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、直线 $y = k (x + 1) (k \neq 0)$ 与椭圆交于 $A$ 、 $B$ 两点，过 $A$ 、 $B$ 作直线 $l ： x = - 2$ 的垂线，垂足分别为 $M$ 、 $N$ ，点 $G$ 为线段 $M N$ 的中点， $F$ 为椭圆 $C$ 的左焦点．求证：四边形 $A G N F$ 为梯形．

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22. 已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x - 1} + x^{2} + a - 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若不等式 $(x - 1) e^{x - 1} + x^{2} + (x + \frac{1}{e}) l n (x + \frac{1}{e}) + 2 a + \frac{2}{e} - 1 \geq 0$ 恒成立，求a的取值范围.

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