河北省张家口市2022届高三数学第三次模拟试卷

试卷更新日期：2022-06-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 $A = {x | x = 2 n - 1 ， n \in Z}$ ， $B = {x | x = 6 k + m ， k \in Z}$ ， $m = 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5$ ，若 $A ∩ B = B$ ，则m的取值集合为（）

A、 ${1 ， 2 ， 3}$ B、 ${2 ， 3 ， 5}$ C、 ${1 ， 3 ， 5}$ D、 ${0 ， 2 ， 4}$

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2. 已知复数z满足 $z (a + i) = 2 + 3 i$ ，若复数z在复平面上对应的点在第二或第四象限，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \frac{3}{2} ， \frac{2}{3})$ B、 $(- \frac{2}{3} ， \frac{3}{2})$ C、 $(- \infty ， - \frac{3}{2}) ∪ (\frac{2}{3} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - \frac{2}{3}) ∪ (\frac{3}{2} ， + \infty)$

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3. 已知函数 $f (x) = c o s (ω x + \frac{7}{8} π) (ω > 0)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{4} ， 0)$ 对称，则 $f (x)$ 的最小正周期T的最大值为（）

A、 $\frac{2 π}{5}$ B、 $\frac{3 π}{5}$ C、 $\frac{4 π}{5}$ D、 $\frac{6 π}{5}$

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4. 设 $m = - \frac{1}{2}$ ， $n = l o g_{3} \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $p = - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{- 2.5}$ ，则（）

A、 $m > n > p$ B、 $n > m > p$ C、 $p > m > n$ D、 $p > n > m$

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5. 已知 $t a n \frac{α}{2} = \sqrt{5} - 2$ ，则 $\frac{c o s α c o s 2 α}{s i n α - c o s α} =$ （）

A、 $- \frac{6}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{6}{5}$

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6. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，过 $A_{1} B_{1}$ 的截面与AC交于点D，与BC交于点E，该截面将三棱柱分成体积相等的两部分，则 $\frac{C D}{A C} =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

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7. 已知函数 $f (x) = x [a e^{x} + (a^{2} - 2) e^{- x}]$ 是偶函数或是奇函数，当 $x_{1} ， x_{2} > 0$ 时， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，则a=（）

A、1或-2 B、1或2 C、-1或-2 D、-1或2

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8. 已知点P是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为N，动点M满足 $| P M | + | P N |$ 最小值为3，则点M的轨迹长度为（）

A、 $\frac{16 π}{3}$ B、 $8 π$ C、 $\frac{16 π}{3} + 4 \sqrt{3}$ D、 $8 π + 2 \sqrt{3}$

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二、多选题

9. 已知公差为d的等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 是等差数列 B、 $S_{n}$ 是关于n的二次函数 C、 ${n a_{n}}$ 不可能是等差数列 D、“ $d > 0$ ”是“ $S_{n - 1} + S_{n + 1} > 2 S_{n}$ ”的充要条件

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10. 已知 $x ， y \in R_{+}$ ， $x + y = m$ （m是常数），则下列结论正确的是（）

A、若 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y + 1}$ 的最小值为 $m + 1$ ，则 $m = 3$ B、若 $x (y + 1)$ 的最大值为4，则 $m = 3$ C、若 $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ 的最大值为m，则 $m = 2$ D、若 $m = 4$ ，则 $\frac{y^{2} + 9}{x}$ 的最小值为2

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11. 已知 $(a x^{2} - 1) {(x + \frac{b}{x})}^{5} (b > 0)$ 的展开式中x项的系数为30， $\frac{1}{x}$ 项的系数为M，则下列结论正确的是（）

A、 $a > 0$ B、 $a b^{3} - b^{2} = 3$ C、M有最大值10 D、M有最小值 $- 10$

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12. 边长为 $4 \sqrt{3}$ 的正三角形ABC三边AB､AC､BC的中点分别为D､E､F，将三角形ADE沿DE折起形成四棱锥 $P - B C E D$ ，则下列结论正确的是（）

A、四棱锥 $P - B C E D$ 体积最大值为 $6 \sqrt{3}$ B、当 $P F = 2 \sqrt{6}$ 时，平面 $P D F ⊥$ 平面PEF C、四棱锥 $P - B C E D$ 总有外接球 D、当 $P B ⊥ C E$ 时，四棱锥 $P - B C E D$ 外接球半径有最小值 $\sqrt{13}$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = e^{x + 1} l n (1 - x)$ 点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为.

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14. 用0，1，2，3组成无重复数字的三位数，这个三位数是偶数的概率为.

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15. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， AB是椭圆过点 $F_{1}$ 的弦，点A关于原点O的对称点为 $A_{1}$ ， $A_{1} F_{1} ⊥ A B$ ，且 $| A_{1} F_{1} | = 3 | B F_{1} |$ ，则椭圆的离心率为.

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16. 已知向量 $\vec{a} = (x ， - 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， y - 2)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则点 $(x ， y)$ 的轨迹方程为；若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $4 x^{2} + y^{2}$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工岛，向西横跨南海伶仃洋水域接珠海和澳门人工岛，止于珠海洪湾立交；桥隧全长55千米，桥面为双向六车道高速公路，设计速度100千米/小时，限制速度为 $90 ∼ 120$ 千米/小时，通车后由桥上监控显示每辆车行车和通关时间的频率分布直方图如图所示：
附：若 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X ⩽ μ - σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X ⩽ μ - 2 σ) = 0.9545$ .

(1)、估计车辆通过港珠澳大桥的平均时间 $\bar{t}$ （精确到0.1）

(2)、以（1）中的平均时间 $\bar{t}$ 作为 $μ$ ，车辆通过港珠澳大桥的时间X近似服从正态分布 $N (μ ， 36)$ ，任意取通过大桥的1000辆汽车，求所用时间少于39.5分钟的大致车辆数目（精确到整数）.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{3}{4}$ ， $a_{n + 1} = \frac{3 a_{n}}{1 + 2 a_{n}}$ .

(1)、证明： ${\frac{1}{a_{n}} - 1}$ 是等比数列；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n} a_{n + 1}}{3^{n}}$ ，证明 $b_{1} + b_{2} + ⋯ + b_{n} < \frac{3}{8}$ .

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19. “费马点”是由十七世纪法国业余数学家之王费马提出并征解的一个问题，该问题是指在位于三角形内找一个到三角形三个顶点距离之和最小的点.由当时意大利数学家托里拆利给出解答，当三角形三个内角均小于 $120 °$ 时，“费马点”与三个顶点的连线正好三等分“费马点”所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为 $120 °$ ；当三角形有一内角大于或等于 $120 °$ 时，所求点为三角形最大内角的顶点.在 $△ A B C$ 中， $∠ A$ ､ $∠ B$ ､ $∠ C$ 的对边分别为a､b､c，且 $2 a^{2}$ ， $b^{2}$ ， $c^{2}$ 成等差数列， $∠ B = 60 °$ .

(1)、证明： $△ A B C$ 是直角三角形；

(2)、若O是 $△ A B C$ 的“费马点”， $a = 2$ .设 $O A = x$ ， $O B = y$ ， $O C = z$ ，求 $x + y + z$ 的值.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是等腰梯形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B / / C D$ ， $P A = A B = 2 C D = 4$ ， $B C = \sqrt{10}$ .

(1)、证明：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、若 $E$ 是 $P C$ 的中点，求二面角 $E - B D - P$ 的余弦值.

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21. 已知 $b > a > 0$ ，点 $A (0 ， \sqrt{2} b)$ ， $B (0 ， \frac{\sqrt{2}}{2} b)$ ，动点P满足 $| P A | = \sqrt{2} | P B |$ ，点P的轨迹为曲线C.

(1)、求曲线C的方程；

(2)、直线 $y = k x + m$ 与曲线C相切，与曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 交于M､N两点，且 $∠ M O N = \frac{π}{2}$ （O为坐标原点），求曲线E的离心率.

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22. 已知函数 $g (x) = a l n x - (2 a - 2) x + \frac{1}{2} x^{2} (a \in R)$ 在 $x = 1$ 处取得极值.

(1)、求 $a$ 的值及函数 $g (x)$ 的极值；

(2)、设 $f (x) = g (x) - t$ 有三个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ $(x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，证明： $x_{3} < 4 + x_{1}$ .

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