河北省唐山市2022届高三数学三模试卷

试卷更新日期：2022-06-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $U = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4} ， A = {x | x (x - 3) = 0} ， B = {x | 2 \leq x \leq 4 ， x \in N^{*}}$ ，则 $(∁_{U} A) ∩ B =$ （）

A、 ${2 ， 4}$ B、 ${2 ， 3 ， 4}$ C、{2} D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$

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2. 设复数z满足 $z (1 - i) = 2 + i$ ，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $| a_{1} | = 1 ， 8 a_{2} + a_{5} = 0 ， a_{2} < a_{5}$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、16 B、-16 C、32 D、-32

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4. 已知菱形 $A B C D$ 的边长为2， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2$ ，则 $| \vec{B D} | =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、1 D、2

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5. $(1 + x^{2}) {(x - \frac{1}{x})}^{4}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为（）

A、-4 B、-2 C、2 D、10

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6. 阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率 $π$ 与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的面积为 $6 \sqrt{2} π$ ，两个焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，点P为椭圆C的上顶点．直线 $y = k x$ 与椭圆C交于A，B两点，若 $P A ， P B$ 的斜率之积为 $- \frac{8}{9}$ ，则椭圆C的长轴长为（）

A、3 B、6 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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7. 下列说法正确的是（）

A、数据 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， ⋯ ， x_{n}$ 的方差是0.1，则有数据 $10 x_{1} - 1 ， 10 x_{2} - 1 ， 10 x_{3} - 1 ， \cdot \cdot \cdot 10 x_{n} - 1$ 的方差为9 B、将4名学生分配到2间宿舍，每间宿舍2人，则不同的分配方法共有 $C_{4}^{2} A_{2}^{2}$ 种 C、从4名男医生和5名女医生中选出3名医生组成一个医疗小分队，既有男医生又有女医生的组队方案共有 $C_{4}^{1} C_{5}^{1} C_{7}^{1}$ 种 D、在回归直线方程 $\hat{y} = 0.25 x + 1.5$ 中，相对于样本点 $(2 ， 1.2)$ 的残差为 $- 0.8$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} - x - 1 ， x \leq 0 ， \\ - f (- x) ， x > 0 ， \end{array}$ 则使不等式 $f (l n x) > - \frac{1}{e}$ 成立的实数x的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{e})$ B、 $(\frac{1}{e} ， + \infty)$ C、 $(0 ， e)$ D、 $(e ， + \infty)$

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二、多选题

9. 下列命题正确的有（）

A、若 $a > b ， c > d$ ，则 $a c > b d$ B、若 $x e^{x} = 1$ ，则 $x + l n x = 0$ C、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、 $2^{x} = 6 ， y = l o g_{3} 6$ ，则 $x y > 4$

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10. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 为双曲线 $C ： \frac{y^{2}}{3} - x^{2} = 1$ 的两个焦点， $P$ 为双曲线 $C$ 上任意一点，则（）

A、 $| P F_{1} | - | P F_{2} | = 2 \sqrt{3}$ B、双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ C、双曲线 $C$ 的离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $| \vec{P F_{1}} + {\vec{P F}}_{2} | \geq 2 \sqrt{3}$

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11. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为O， $O^{'}$ ，其高为2， $△ A B C$ 为圆O的内接三角形，且 $∠ B A C = 6 0^{∘} ， B C = 3$ ， P为圆 $O^{'}$ 上的动点，则（）

A、若 $P B ⊥$ 平面 $A B C$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为 $16 π$ B、若 $P A ⊥ B C$ ，则 $A B = A C$ C、三棱锥 $P - A B C$ 体积的最大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、点A到平面 $P B C$ 距离的最大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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12. 已知函数 $f (x) = 8 s i n x - t a n x$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $f (x)$ 的周期为 $π$ B、 $f (x)$ 关于点 $(π ， 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上的最大值为 $3 \sqrt{3}$ D、 $y = f (x) - \frac{1}{x - π}$ 在 $(- \frac{π}{2} ， \frac{5 π}{2})$ 上的所有零点之和为 $6 π$

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三、填空题

13. 在某次测验中，测验结果 $ξ$ 服从正态分布 $N (80 ， σ^{2})$ ．若 $P (ξ > 90) = 0.2$ ，则 $P (70 < ξ < 90) =$ ．

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14. 若 $s i n α + c o s α = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，则 $t a n α + \frac{1}{t a n α} =$ ．

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15. 直线 $l ： x + \sqrt{2} y - m = 0$ 与圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 4 x - 8 = 0$ 交于A、B两点，且 $\vec{C A} \cdot \vec{C B} = - 6$ ，则实数 $m =$ ．

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16. 角谷猜想又称冰雹猜想，是指任取一个正整数，如果它是奇数，就将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 $1 \to 4 \to 2 \to 1$ ．如取正整数 $m = 6$ ，根据上述运算法则得出 $6 \to 3 \to 10 \to 5 \to 16 \to 8 \to 4 \to 2 \to 1$ ，共需要经过8个步滕变成1（简称为8步“香程”），已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = m$ （m为正整数）， $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} \frac{a_{n}}{2} ，当 a_{n} 为偶数时， \\ 3 a_{n} + 1 ，当 a_{n} 为奇数时， \end{array}$ ①若 $m = 13$ ，则使得 $a_{n} = 1$ 至少需要步雹程；②若 $a_{9} = 1$ ；则m所有可能取值的和为．

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四、解答题

17. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A B} = 3 \vec{D C} ， \frac{s i n ∠ B A D}{s i n ∠ A D B} = c o s ∠ A B D$ ．

(1)、证明： $△ A B D$ 为直角三角形；

(2)、若 $A B = 6$ ，求四边形 $A B C D$ 面积S的最大值．

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18. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{n + 1}^{2} - (2 n + 1) a_{n + 1} = a_{n}^{2} + (2 n + 1) a_{n}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < 2$ ．

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19. 某景区内有一项“投球”游戏，游戏规则如下：
游客投球目标为由近及远设置的A，B，C三个空桶，每次投一个球，投进桶内即成功，游客每投一个球交费10元，投进A桶，奖励游客面值20元的景区消费券；投进B桶，奖励游客面值60元的景区消费券；投进C桶，奖励游客面值90元的景区消费券；
投不进则没有奖励．游客各次投球是否投进相互独立．

(1)、向A桶投球3次，每次投进的概率为p，记投进2次的概率为 $f (p)$ ，求 $f (p)$ 的最大值点 $p_{0}$ ；

(2)、游客甲投进A，B，C三桶的概率分别为 $\frac{1}{2} p_{0} ， \frac{3}{10} p_{0} ， \frac{3}{20} p_{0}$ ，若他投球一次，他应该选择向哪个桶投球更有利？说明理由．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P B D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是梯形， $A D ∥ B C ， B D ⊥ P C ， A D = A B = \frac{1}{2} B C = \sqrt{2}$ ．

(1)、证明： $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $P B = P C = 2 \sqrt{2}$ ， $E$ 为线段 $A P$ 的中点，求平面 $P B D$ 与平面 $B D E$ 所成锐二面角的余弦值．

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，动圆M与圆 $N ： x^{2} + (y - \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$ 相内切，且与直线 $y = - 1$ 相切，记动圆圆心M的轨迹为曲线C．

(1)、求曲线C的方程；

(2)、过点 $E (0 ， 1)$ 的直线l与曲线C交于A，B两点，分别以A，B为切点作曲线C的切线 $l_{1} ， l_{2}$ ，直线 $l_{1} ， l_{2}$ 相交于点P．若 $(\vec{A B} + \vec{A P}) \cdot \vec{P B} = 0$ ，求直线l的方程．

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22. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - x - l n x$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 在定义域内有两个不相等的零点 $x_{1} ， x_{2}$ ．
①求实数a的取值范围；
②证明： $f (x_{1} + x_{2}) > 2 - l n (x_{1} + x_{2})$ ．

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