河北省邯郸市2022届高三数学5月模拟试卷

试卷更新日期：2022-06-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若复数 $z = 1 - \sqrt{3} i$ ，则 $\frac{2}{z} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$

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2. 设集合 $A = {x | - 1 ⩽ x ⩽ 2 ， x \in N}$ ， $B = {x | y = \sqrt{3 - x}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$

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3. 已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} = 25$ 和圆 $C_{2}$ ： ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = a^{2}$ ，则“ $a = 2$ ”是“圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 内切”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 位于丛台公园内的武灵丛台已经成为邯郸这座三千年古城的地标建筑，丛台上层建有据胜亭，其顶部结构的一个侧面中，自上而下第一层有2块筒瓦，以下每一层均比上一层多2块筒瓦，如果侧面共有11层筒瓦且顶部4个侧面结构完全相同，顶部结构共有多少块筒瓦？（）

A、440 B、484 C、528 D、572

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5. 已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，各棱长均为2，且点 $P$ 为棱 $C C_{1}$ 上一动点，则下列结论正确的是（）

A、该正三棱柱既有外接球，又有内切球 B、四棱锥 $P - A B B_{1} A_{1}$ 的体积是 $\frac{8}{3}$ C、直线 $A B_{1}$ 与直线 $B P$ 恒不垂直 D、直线 $B P$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角最大为 $\frac{π}{3}$

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6. 已知 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左､右焦点，点 $P$ 为双曲线右支上一点，且 $P$ 在以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆上，若 $| P F_{1} | | P F_{2} | = 12$ ，则 $t a n ∠ P O F_{2} =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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7. 已知函数 $f (x) = [l n x + l n (2 π - x)] \cdot s i n x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = π$ 对称 B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(π ， 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 有2个零点 D、 $f (π + x)$ 是偶函数

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8. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，将三角板 $A B C$ 的端点 $A$ ､ $C$ 分别放在 $x$ 轴和 $y$ 轴的正半轴上运动，点 $B$ 在第一象限，且 $∠ A C B = 2 ∠ A B C = 60 °$ ，若 $B C = 2$ ，则点 $O$ 与点 $B$ 之间的距离（）

A、最大值为2 B、最大值为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、最大值为 $\frac{1 + \sqrt{13}}{2}$ D、最大值为 $\frac{7 + \sqrt{13}}{2}$

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二、多选题

9. 我国小麦育种技术和水平已经达到国际先进水平，研究发现某品种小麦麦穗长度 $X$ cm近似服从正态分布 $N (11.24 ， 1.1 3^{2})$ .从该品种小麦中任取100株，估计其麦穗长度，则下列说法正确的是（）

A、100株小麦麦穗长度的均值约为11.24cm B、100株小麦中约有2株小麦的麦穗长度大于13.5cm C、100株小麦中没有麦穗长度大于14.63cm的小麦 D、若随机变量 $Y$ 表示100株小麦中麦穗长度大于13.5cm的株数，则 $Y$ 近似服从二项分布 $B (100 ， 0.0455)$ 附： $P (μ - 2 σ ⩽ X ⩽ μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ ⩽ X ⩽ μ + 3 σ) \approx 0.9973$

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10. 已知函数 $f (x) = 2 c o s (2 x - \frac{π}{6}) + 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(\frac{7 π}{12} ， \frac{5 π}{6})$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 图象关于点 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ 对称 C、若 $f (x_{1}) = 3$ ， $f (x_{2}) = - 1$ ，则 ${| x_{1} - x_{2} |}_{m i n} = \frac{π}{2}$ D、若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = 1$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，则 ${| x_{1} - x_{2} |}_{m i n} = \frac{π}{4}$

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11. 已知直线 $l$ ： $y = x + m$ 与椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $C$ 与 $l$ 至少有一个公共点，则 $m \leq 2 \sqrt{2}$ B、若 $C$ 与 $l$ 有且仅有两个公共点，则 $| m | < 2 \sqrt{2}$ C、若 $m = 3 \sqrt{2}$ ，则 $C$ 上到 $l$ 的距离为5的点只有1个 D、若 $m = - \sqrt{2}$ ，则 $C$ 上到 $l$ 的距离为1的点只有3个

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12. 已知函数 $f (x) = e^{x - a} - x^{2} (a > 0)$ 有两个极值点 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $0 < x_{1} < 1$ B、 $0 < x_{1} e^{x_{2}} < 1$ C、 $0 < f (x_{1}) < 1$ D、 $a \in (1 - l n 2 ， + \infty)$

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三、填空题

13. 已知 $\vec{a}$ ､ $\vec{b}$ 是不共线的两个单位向量，若 $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{2} | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为；

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14. 请写出一个函数表达式满足下列3个条件：①最小正周期 $T = π$ ；②在 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上单调递减；③奇函数

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15. 同时抛掷两枚质地均匀的骰子两次，记事件 $A =$ “两枚骰子朝上的点数之积均为偶数”，事件 $B =$ “两枚骰子朝上的点数之和均为奇数”，则 $P (B ∣ A) =$ ；

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16. 如图所示， $A$ 是平面 $α$ 内一定点， $B$ 是平面 $α$ 外一定点，直线 $A B$ 与平面 $α$ 所成角为45°.设平面 $α$ 内的动点 $C$ 到 $A$ 点､ $B$ 点距离分别为 $d_{1}$ ､ $d_{2} (d_{1} ， d_{2} > 0)$ ，且 $m = \frac{d_{1}}{d_{2}}$ .若点 $C$ 的轨迹是一条直线， $m =$ ；若点 $C$ 的轨迹是圆，则 $m$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} = 1$ ，且 $2 S_{n} = n a_{n + 1}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 为了使更多人参与到冰雪运动中，某校组织了一次简易冰壶比赛.每场比赛由两支队伍对抗进行，每队由2名成员组成，共进行3局.每局比赛时，两队成员交替发球，每名成员只能从发球区（ $M N$ 左侧）掷冰壶一次.当所有成员全部掷完冰壶后，开始计分.若冰壶未到达营垒区，计 $- 1$ 分；若冰壶能准确到达营垒区，计2分，整场比赛累计得分多者获得比赛胜利.已知 $A$ 队两名成员甲､乙每次将冰壶投掷到营垒区的概率分别为 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{1}{3}$ ， $B$ 队两名成员丙､丁每次将冰壶投掷到营垒区的概率均为 $\frac{1}{2}$ .假设两队投掷的冰壶在运动过程中无碰撞，每名成员投掷冰壶相互独立，每局比赛互不影响.

(1)、求 $A$ 队每局得分 $X$ 的分布列及期望；

(2)、若第一局比赛结束后， $A$ 队得1分， $B$ 队得4分，求 $A$ 队最终获得本场比赛胜利且总积分比 $B$ 队高3分的概率.

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19. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $c s i n B = b c o s \frac{A + B}{2}$ .

(1)、若 $a = 6$ ， $c = \sqrt{3} b$ ，求 $b$ ；

(2)、若点 $D$ 在线段 $B C$ 上，且 $C D = 2 B D$ ， $A D = 1$ ，求 $a + b$ 的最大值.

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20. 如图，四棱锥 $E - A B C D$ ， $A B = A D = \sqrt{3}$ ， $C D = C B = 1$ ， $A C = 2$ ，平面 $E A C ⊥$ 平面 $A B C D$ ，平面 $A B E ∩$ 平面 $C D E = l$ .

(1)、若点 $M$ 为线段 $A E$ 中点，求证： $B M / / l$ ；

(2)、若 $∠ A C E = 6 0^{∘}$ ， $C E = 1$ ，求直线 $B C$ 与平面 $A D E$ 所成角的正弦值.

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21. 平面直角坐标系中，点 $P$ 在 $y$ 轴右侧，且到点 $F (1 ， 0)$ 的距离比其到 $y$ 轴距离多1.

(1)、求点 $P$ 轨迹 $C$ 的方程；

(2)、过点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ､ $B$ 两点， $Q$ 是 $y$ 轴上一点.若 $△ A B Q$ 是正三角形，求直线 $l$ 的斜率.

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22. 设函数 $f (x) = x^{3} + l n (x + 1)$

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $(0 ， 0)$ 处的切线方程；

(2)、证明：当 $n \in N^{*}$ 且 $n ⩾ 2$ 时， $l n (n + 1) > \frac{1}{8} + \frac{2}{27} + \cdot \cdot \cdot + \frac{n - 1}{n^{3}}$ .

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